Абсолютно пружний та непружний удар двох тіл

Абсолютно пружний та непружний удар двох тіл



Удари (або зіткнення) – найочевидніший спосіб взаємодії тіл. Проте, їх розгляд виходить далеко за рамки побутових питань.

Фізики використовують наступне визначення удару: взаємодія рухомих тіл, при якому часом зіткнення можна знехтувати.

В першу чергу розглядаються абсолютно пружний і непружний удари.

Абсолютно пружний та непружний удар

Галузь застосування

Зіткнення мають велике значення для вивчення речовини. Відбиття і розсіювання світла, інших електромагнітних хвиль або навіть потоки електронів можуть бути розглянуті подібно механічним явищам.

На фотографії або рентгенівському знімку можна розглянути предмети, не маючи можливості зробити це безпосередньо. Аналогічно для дослідження устрою мікросвіту фізики проводять зіткнення ядер свинцю в детекторі Великого Адронного Коллайдера.

Сфери використання

Вчені не можуть спостерігати зіткнення, але датчики фіксують частинки, які утворюються в його результаті та їх характеристики (масу, енергію і імпульс). Доступна інформація дуже обмежена, але, провівши тривалий аналіз отриманих даних на основі теорії зіткнень і безліч розрахунків, вчені роблять дивовижні висновки про устрій нашого світу.

Теоретична основа

При ударі тіл виконуються закони збереження імпульсу і моменту імпульсу. Але механічна енергія, як правило, не зберігається.

Вона переходить в нагрів, деформацію тіл, коливання (в тому числі акустичні) та інші види енергії. Але для зручності розгляду у фізиці застосовуються спрощені моделі.

Тому використовуються граничні випадки:

  • абсолютно пружний удар, при якому повна кінетична енергія тіл зберігається;
  • абсолютно непружний удар, коли тіла з’єднуються в єдине ціле, витрачаючи енергію на непружну деформацію.

Абсолютно пружний удар

Абсолютно пружний удар

При абсолютно пружних зіткненнях механічна енергія системи тіл зберігається. Інтуїтивним прикладом може стати зіткнення більярдних куль або відскакування тенісного м’ячика від твердої поверхні.

Зіткнення молекул, атомів і елементарних частинок в ряді випадків добре підкоряються законам протікання пружного удару, хоча вони і взаємодіють лише за допомогою полів, в першу чергу, електромагнітних.

Фізична модель

Якщо поглянути ближче, то при зіткненні тіл відбувається їх невелика деформація. Її чітко можна помітити на тенісному м’ячику. Для більярдної кулі вона дуже мала, а у випадку з зарядженими частинками змінює свою форму їх електричне поле. Ці випадки об’єднує те, що деформація близька до пружної.

Поверхні стискаються подібно пружинам, запасаючи енергію на долі секунди. Кінетична енергія тіл переходить в потенційну енергію пружної деформації. Але потім поверхні знову випрямляються, відштовхуючи тіла.

В результаті енергія знову перетікає в кінетичну. Але ці переходи вважаються моментальними. Однак, не можна вважати, що енергія збереглася для кожного тіла. Об’єкти взаємодіють і здійснюють роботу.

Куля, налетівши з дула, втрачає швидкість.

Закон збереження енергії виконується лише для системи, яка не отримує збільшення енергії від тіл ззовні – від закритої системи. При зіткненні тіл відбувається їх невелика деформація.

Проте, кінетична енергія може бути укладена в різних формах руху тіла. Не можна, наприклад, необачно виключати можливість обертання тіл і їх форму. Але, знову ж таки, в ряді випадків такими властивостями можна знехтувати. Так працює опис розрядженого одноатомного газу (атоми, які переміщаються по посудині, взаємодіючи лише пружно з іншими атомами і стінками судини).

У ряді випадків зручною для застосування є модель центрального удару. В цьому випадку приймається, що тіла рухаються тільки уздовж прямої, що проходить через їх центри мас. Таким чином, можна розглядати тільки одну координату, розмістивши вісь уздовж цієї прямої.

В першу чергу, для вивчення фізики процесу використовується саме ця ситуація з огляду на її простоту. У більш загальному випадку тіла можуть рухатися до місця зіткнення під різними кутами і стикатися не на одній лінії з напрямком швидкості, однак це істотно ускладнює математичну модель.

Нехай одна куля знаходиться в стані спокою, а друга налітає на неї з деякою швидкістю, напрямок якої проходить через центр мас другої кулі.

Один шар в стані спокою другий налітає

Взаємодію будемо вважати центральним і абсолютно пружним ударом, формули для законів збереження енергії і імпульсу матимуть вигляд:

Взаємодія швидкості куль

При вирішенні цієї системи рівнянь виходять вирази для швидкостей куль після зіткнення.

Можна помітити, що швидкість першої кулі може приймати значення обох знаків. В цьому випадку розглядаються проєкція швидкостей на вісь х, тому негативна швидкість означає напрямок руху проти напрямку осі, тобто вліво. Водночас швидкість другої кулі має лише позитивні значення. Це підтверджує інтуїтивне припущення про те, що нерухома куля при таких умовах може бути відштовхнутою першою лише вправо.

Ще більш спрощений випадок будується, коли маси куль рівні. Однак, він несе ряд цікавих ефектів. Підставивши одне значення маси в наведені вище рівняння, отримаємо:

Рівняння знаходження маси

Виходить, що перша куля повністю зупиняється, а друга починає рух зі швидкістю, рівною початковій швидкості першої.

Річ у тому, що запасена потенційна енергія в рівних частинах переходить обом тілам (згідно з третім законом Ньютона вони відштовхуються з рівними силами). Виходить, що перша куля повністю втрачає свою кінетичну енергію, адже зіткнення перешкоджає її руху. Таким чином, вся енергія переходить другій кулі, яка розганяється в тій же мірі.

Наочні ефекти

Пружне зіткнення лежить в основі широко поширеної іграшки – маятника Ньютона. Однакові сталеві кульки підвішуються на тонких нитках так, що вони розташовуються дуже близько, але водночас не тиснуть одна на одну, а також виключаються їх бічні зміщення.

Якщо відтягнути і відпустити одну кулю – то відбувається ряд пружне зіткнення. Річ у тому, що між кульками в будь-якому випадку є хоч невеликі зазори, адже це не єдине тіло.

Іграшка Ньютона

Перша, відтягнута кулька налітає на другу. Вони мають рівні маси і розташовані так, що відбувається центральний удар. Значить, перший зупиняється, а друга продовжує рух зі швидкістю першої.

Але вже через невеликий проміжок часу друга зустрічає третю кульку, і зіткнення повторюється. Хвилі деформації поширюються по кулях настільки швидко і зазори настільки малі, що перехід до останнього кулі відбувається непомітно. У якісному приладі мова йде менш ніж про десяті  частини секунди. Останній кульці не заважають перешкоди і, піднявшись на деяку висоту проти сили тяжіння, вона повертається назад. Процес повторюється дзеркально.

Але що станеться, якщо відтягнути разом кілька кульок? Припустимо, дві. Між ними також утворюється мінімальний зазор. Друга спочатку зіткнеться з третьою і зупиниться, але тут же отримає ще один удар ззаду і передасть повторний імпульс.

На іншому кінці два послідовних імпульсів просто послідовно відштовхнуть дві кульки. Але часовий проміжок настільки малий, що вони полетять разом. Нічого не зміниться і з трьома кулями, навіть якщо всього їх буде п’ять. Відштовхуватись вони будуть знову по три штуки.

Є ще один неочевидний ефект, який однозначно заслуговує уваги. Якщо виключити одне спрощення – напрямок швидкості, то виходить нецентральний удар. Але все ж залишаються допущення про те, що маси куль рівні, а другі спочатку нерухомий.

Закон збереження імпульсу для пружного удару (у векторній формі) встановлює, що сумарний імпульс буде залишатися незмінним. Вектори швидкостей після зіткнення утворюють паралелограм, адже будуть являти собою розкладання початкового вектора. А закон збереження енергії встановлює зв’язок між величинами швидкостей.

Вектори швидкостей кульок

З векторів швидкостей утворюється прямокутник. При таких умовах в ньому нескладно вгледіти теорему Піфагора. Виходячи з цього можна зробити висновок, що з векторів швидкостей утворюється прямокутник. А значить, розлітатися кульки завжди будуть під прямим кутом. Це не залежить від їх параметрів, обов’язковими умовами є лише їх:

  • однорідність;
  • рівність мас;
  • нецентральний удар.

Абсолютно непружний удар

Абсолютно непружний удар

При абсолютно непружному зіткненні тіла з’єднуються і продовжують рух як єдине ціле. Імпульс зберігається, а ось частина енергії витрачається і вже не переходить назад в кінетичну енергію руху цих тіл.

Два шматочки м’якого пластиліну, налетівши один на одного, склеяться і полетять разом далі. Але мова може йти і про захоплення одного об’єкта іншим. Навіть стикування блоків космічної станції можна розглядати як непружне зіткнення.

Сили, дія яких призводить до спадання механічної енергії системи, називаються дисипативними. В першу чергу до дисипативних сил відносяться сила тертя і опір середовища.

Вони завжди спрямовані проти руху тіла. У техніці дисипативні сили дуже часто являють собою істотну проблему:

  • По-перше, вони знижують коефіцієнт корисної дії пристроїв.
  • По-друге, енергія, що переходить в деформацію, акустичні хвилі і виділення тепла несуть руйнівну дію.

Таким чином, у багатьох ситуаціях інженери намагаються знизити їх дію. Як наслідок, облік вкладу непружних зіткнень важливий.

Балістичний маятник

Класичним прикладом абсолютно непружного зіткнення є балістичний маятник.

Ставиться уявний експеримент: на тонких довгих нитках підвішений ящик з тонкими стінками, наповнений піском. У нього потрапляє куля, що летить горизонтально і застрягає в піску. Далі вони продовжують рух разом.

В рамках даного експеременту інтерес представляє зіткнення, а наступні коливання, як правило, не розглядаються. Хоча їх параметри нескладно визначити, знаючи розміри підвісу і швидкість руху ящика. Очевидно, що удар абсолютно непружний, формула убутку кінетичної енергії системи представляє основний інтерес.

Варто зауважити, що формулювання «тонкий», «довгі» несуть вельми конкретний сенс:

  • Слово «тонкий» показує, що впливом товщини, тертя і напруги в точках кріплення можна знехтувати.
  • «Довгі» нитки – зміщенням по вертикалі можна знехтувати. Хоча час удару кулі настільки малий, що відхиленням можна знехтувати незалежно від довжини нитки.

Закон збереження імпульсу

Таким чином, підвіс вважаємо розташованим вертикально, ящик – спочатку нерухомим. Сила тяжіння спрямована вниз, сила натягу нитки – вгору. Імпульс сил, що діють на тіло під час удару, дорівнює нулю, так як їх дія скомпенсована.

До зіткнення ящик нерухомий, враховується тільки енергія кулі. Після – енергія ящика і кулі як єдиного цілого. Початкова і кінцева кінетичні енергії:

Початкова і кінцева кінетичні енергії

Їх різниця і покаже втрати механічної енергії:

Втрата механічної енергії

Втрати кінетичної енергії не пропадають безслідно, вони переходять в нагрів кулі і піску, а також утворення акустичних хвиль.

Окремий випадок

Можна зробити важливі висновки, перевіривши отримані формули при різних співвідношеннях мас ящика і кулі. При рівних масах піде половина енергії. Якщо маса кулі значно менше маси ящика – розсіється майже вся енергія. Коли маса кулі набагато більше – загубиться мала частина, масивне рухливе тіло нібито і не помітить дрібної перешкоди.

Реальний удар

У реальних умовах зіткнення вкрай рідко є такими, що їх можна вважати абсолютно пружними або непружними. Вони знаходяться десь між граничними випадками, тому розглядаються як комбінація цих процесів.

Коефіцієнт відновлення

Вводиться коефіцієнт відновлення, який показує ступінь близькості до абсолютно пружного удару:

  • k=0 – абсолютно непружний;
  • k=1 – абсолютно пружний.

Значення для деяких матеріалів

Наведемо коефіцієнт відновлення для різних речовин, що зіштовхуються:

  • удар скла об скло – 0,94;
  • дерево – 0,5;
  • сталь об пробку-0,55;
  • слонова кістка – 0,89.

Коефіцієнт відновлення показує, яка частка початкової відносної швидкості цих тіл відновлюється до кінця удару.

Якщо припустити, що тіло вдаряється об нерухому перешкоду (або тіло набагато більшої маси), то коефіцієнт покаже співвідношення між швидкостями першого тіла до і після зіткнення.

Leave a Reply

Ваша e-mail адреса не оприлюднюватиметься. Обов’язкові поля позначені *