Одним з великих розділів механіки, що вивчає рух за допомогою математичного опису процесів, є кінематика. Наука розглядає різні види і типи переміщень, не виключенням є і доцентрове прискорення.
Часто його називають просто нормальним, маючи на увазі рівномірне переміщення тіла по колу з напрямком від радіуса до центру. По суті, це величина, яка визначається зміною напрямку вектора швидкості.
Загальні відомості
Явища, що відбуваються в навколишньому світі, описуються рядом змін, що залежать від часу і простору. Найпростішим видом такого процесу є рух, тобто зміна положення матеріальної точки щодо інших навколишніх об’єктів.
Кінематика вивчає будь-яке переміщення, але при цьому не з’ясовує причини, що викликали його. Попри те, що будь-яке фізичне тіло має розміри, ними зазвичай нехтують, вважаючи будь-яке тіло точкою.
Швидкість переміщення визначається швидкістю, що розраховується від обраної початкової системи відліку. Першу похідну швидкості, взятою за часом, називають прискоренням.
Позначати прискорення у фізиці домовилися латинською літерою “a”. Знаходять параметр за формулою:
a = dv/dt
де
- dV і dt — зміна швидкості і часу.
Існує кілька видів доцентрового прискорення:
- Тангенціальне — (дотичне) — характеризує зміну швидкості, спрямованої по дотичній.
- Доцентрове — (нормальне) — спостерігається при переміщенні як по колу, так і по траєкторії, описуваної ненульовою кривизною.
- Кутове — показує, як змінюється кутова швидкість за певний проміжок часу, тобто відносно центру обертання до радіусу кола.
- Повне — складається з попередніх видів прискорення.
Нехай є тіло, яке рухається по колу. У початковий момент воно знаходилося в точці один, а після воно перемістилося в точку два. Сталося це за час, рівний Δt. За цей проміжок фізичний об’єкт повернувся на кут f. Для опису процесу вводиться поняття “кутова швидкість”. Позначається вона буквою гамма (w) і дорівнює куту, на який повернулося тіло за одиницю часу:
w = f/Δt
Простим прикладом нормального прискорення є рух по колу. Створюється цей рух силами, прикладеними ортогонально вектору швидкості. На кресленні його можна зобразити як вектор, перпендикулярний дотичній шляху в обраній точці.
Розраховується доцентрове прискорення за формулою:
an = w² * R
де
- w — кутова швидкість,
- R — радіус кривизни.
У векторному вигляді формула приймає вигляд:
an = (V²/R)*e
де
- e — одиничний вектор, що розраховується від центру кривизни до точки.
Математичне обґрунтування формули для знаходження доцентрового прискорення при русі по колу або іншій кривій траєкторії будується наступним чином. Величина прискорення обчислюється, коли напрямок прискорення змінюється, а вектор же завжди спрямований до центру, причому його модуль дорівнює квадрату швидкості, поділеному на радіус:
a = V²/r
Можна уявити супутник, який рухається по круговій орбіті навколо Землі. Деякі космічні тіла описують окружність і обертаються проти годинникової стрілки. Радіус-вектор зручно визначити як функцію часу. Він змінюється при обертанні тіла по колу P (t). Отже, за початок координат можна взяти точку, що позначає планету Земля і провести через неї координатні осі.
Потрібно визначити вектор між позитивною піввіссю P(x) і радіус-вектором Q. Орбіта має радіус R, величина якого постійна. Модуль радіус-вектора, що змінюється, буде дорівнювати r || p (+)|| = r. Щоб записати вектор через компоненти, використовуються основи тригонометрії, що дозволяють виконати розкладання по базису.
У якийсь момент часу радіус-вектор буде володіти модулем r. Його кут дорівнює по іксу компоненті r * cosQ, а по ігреку – r * sinQ. Параметр в будь-який момент може бути виражений через суму ікс і ігрек компонентів:
p (t) = r * cosQ (t) * I + r * sinQ (t) * j
де
- I — базис для ікса компоненти, спрямованої уздовж осі ординати, а j-паралельно осі абсциси.
Похідна від усього цього виразу і буде вектором швидкості як функція від часу:
V (t) = dp/dt = r (-sinQ (t)) * w * I + r * cosQ (t) * w * j.
Зробивши перетворення, можна отримати вираз наступного виду:
V (t) = -w * r (sinQ (t) * I — cos Q (t) * j)
Тепер потрібно взяти похідну від швидкості, що є прискоренням за часом:
a (t) = dV/dt = =w * R * (cos (Q (t) * w * i + sin (Q (t) * w * j) = -w2 * R * (cos (Q (t) * I + sinQ (t) * j) = -w² * p (t)
Таким чином, вектор прискорення як функція часу дорівнює негативному квадрату кутової швидкості на радіус вектор. Тепер необхідно взяти модуль обох частин.
У підсумку вийде:
ac = w² * r = (V/r)² * r
Слід зауважити, що напрямок доцентрового прискорення буде всередину. В отриманій формулі r скорочується і виходить доказувана формула:
ac = V²/r
Фактичне поняття
Нехай є фізична точка, що здійснює рівномірний рух по колу. Щоб знайти напрямок, слід прийняти, що за проміжок часу t розглядається тіло, що переміститься з точки А в точку Б. При цьому швидкість переміщення буде постійною по модулю. Якщо намалювати вектори швидкості в точках А і Б, то можна знайти вектор зміни швидкості дельта V.
Для цього потрібно розглянути трикутники АБО і БОВ. Оскільки вони рівнобедрені, то кути при їх вершинах ідентичні, згідно з теоремою про взаємно перпендикулярні сторони. Звідси випливає, що трикутники подібні.
Використовуючи правило подібності, правильно буде записати пропорцію: БА/ОА = БВ/АБ. Кожному відрізку відповідає свій фізичний параметр. Переходячи до їх позначень, отримане співвідношення можна переписати у вигляді:
V/r = ΔV/Δr
Отже
v = v * Δr/r
Якщо обидві частини рівності розділити на проміжок часу, що визначає, за скільки відбудеться зміна положення з урахуванням того, що
- a = ΔV/t;
- V = r/t.
То рівність набуде вигляду:
a = V * V/r = V²/r
Якщо все це зобразити на малюнку, то видно, що для визначення прискорення потрібно брати межу від Δt до нескінченності. Оскільки момент обертальний, то це означає, що кут w буде прагнути до нуля. Звідси відрізок АБ прагне поєднатися з АО, тобто вектор прискорення співнаправлений зі зміною швидкості.
Такого роду прискорення змінює напрямок швидкості, але залишає незмінним її величину і є перпендикулярним вектору швидкості. Як і будь-яке прискорення, за одиницю виміру доцентрового прискорення береться метр на секунду в квадраті, тобто одиниці довжини, поділені на квадрат одиниць часу.
При вирішенні завдань часто також використовується зв’язок між кутовою швидкістю і лінійної:
a = V²/r = (w * r)/r = w² * r
Якщо провести аналогію далі, то можна знайти залежність з рівнозмінним прямолінійним рухом: a = V — V0/t та рівнозмінним переміщенням по колу: b = (w — w0)/t = (v — v0)/(r * t) = a/r.
Розв`язання простих задач
Після вивчення теоретичного матеріалу важливим етапом розуміння теми є вирішення практичних завдань. Існуючі завдання можна розділити на елементарні і підвищеного рівня.
Учням в сьомому класі викладач задає для самостійного вирішення зазвичай кілька типових завдань, навчившись вирішувати які учень отримує не тільки практичний досвід, а й розуміє сенс вивчення рівнозмінного або рівноприскореного руху.
З найбільш типових завдань можна виділити наступні.
Задача 1. На велотреку спортсмен проходить закруглений поворот радіусом 25 метрів. Необхідно розрахувати швидкість велосипедиста, якщо відомо, що його доцентрова швидкість дорівнює чотири метри в секунду.
Розв’язання задачі виконується за формулою прискорення: a = V²/R. З неї можна виразити швидкість: v = (4 * 25)½ = 10 м / с.
Задача 2. З якою швидкістю повинен їхати автомобіліст, щоб пройти середину підйому, що має доцентрову відстань 22,5 метра, якщо його доцентрове прискорення і вільне падіння повинні дорівнювати один одному?
Рішення. Відомо, що швидкість пов’язана з прискоренням через формулу: V = √(a * R). Оскільки прискорення дорівнює величині вільного падіння, то вихідних даних вистачає, щоб їх підставити в формулу і знайти відповідь: V = 10 * 22,5 = 15 м/с.
Задача 3. Швидкість на екваторі земної поверхні при обертанні Землі навколо своєї осі становить два кілометри в секунду. Необхідно визначити період обертання Землі і доцентрове прискорення фізичного тіла, розташованого на екваторі. Відцентровою силою можна знехтувати.
Рішення. Для розв’язання задачі необхідно знати радіус Землі. Він становить приблизно 6300 км. Використовуючи основну формулу, можна обчислити прискорення: a = V²/R = 22/6 300 = 5,3 * 10-3 км/с. Оскільки V = 2PR/V, то з формули можна виразити період: T = 2 pR/V = (2 * 3,14 * 6,3 * 108)/2 * 103 = 575 годин = 24 діб.
Задача 4. Як повинен змінитися радіус повороту колеса в автомобілі, якщо швидкість руху машини становить три метри в секунду, а прискорення — п’ять метрів в секунду?
Рішення. Для зручності можна зобразити залежність траєкторії руху на малюнку. На ньому позначити швидкість і прискорення, вказати початок системи координат в точці знаходження колеса. Одна вісь буде спрямованою уздовж радіуса, а друга — по дотичній до кола. Для вирішення завдання знадобиться формула, що зв’язує швидкість і прискорення: V² = a * R. З неї можна виразити шуканий радіус: R = V²/a = 32/5 = 1,8 метра.
