Досить часто в точних науках доводиться стикатися з поняттям швидкість. Формула, що дається в школі на уроці математики, справедлива лише для часткового випадку, при якому переміщення залишається завжди постійним.
По суті, термін позначає швидкість зміни чого-небудь. Існує кілька видів руху і методів розрахунку.
Поняття швидкості та основні терміни
Під швидкістю розуміється величина, що визначає швидкість і напрямок переміщення матеріальної точки в обраній системі відліку. Термін широко застосовується в:
- математиці;
- фізиці;
- хімії.
Так, з його допомогою описують:
- реакції;
- зміни температури;
- пересування тіл;
- використовують як похідну розглянутої величини.
Слово «швидкість» походить від латинського «velocitas», що означає рух.
Позначається швидкість буквою V, незалежно від науки, в якій її застосовують. Найпростіша формула, за допомогою якої визначають величину, виглядає наступним чином:
V = S/t
де:
- S – відстань (шлях), пройдену матеріальною точкою або тілом (м);
- t – час за який вона подолала шлях (с).
Це узагальнене рівняння, але водночас воно дозволяє отримати уявлення про поняття. Часто ця нерівність називають рівнянням шляху. Формула використовується для обчислення тільки в тому випадку, якщо рух не змінюється на всій досліджуваній ділянці.
Вперше з виразом знайомлять учнів на уроках математики в п’ятому класі. Учитель пропонує навчитися вирішувати прості завдання на знаходження характеристики при відомій довжині пройденого шляху і витраченому на це часу.
Наприклад, автомобіль за чотири години проїхав 16 кілометрів. Необхідно знайти, з якою швидкістю він рухався. Розв’язання задачі зводиться до двох дій. У першій всі задані величини переводяться в систему СІ: 4 години = 240 хвилин = 10240 секунд; 16 кілометрів = 16000 метрів. У другій дії дані підставляють у формулу і обчислюють відповідь: V = 16000/10240 = 1,6 м/с.
Використовувати узагальнене рівняння для них не можна. Для кожного виду руху застосовується своя формула.
Існуючу швидкість поділяють на наступні види:
- нерівномірна;
- середня;
- рівномірно-змінна;
- поступальна;
- обертальна;
- прискорена.
Рівноприскорений рух
Якщо протягом часу положення тіла змінюється щодо предметів, що знаходяться в спокої, то вважається, що тіло рухається. При цьому, як основний параметр, що описує переміщення, використовується швидкість.
Нерівномірний рух характеризується переміщенням по різній траєкторії з непостійною величиною швидкості. При цьому зміна положення може бути рівноприскореною, тобто параметр на однакових проміжках збільшується або зменшується на одне і те ж значення. Як приклад можна привести падіння каменю.
У довільно взятій точці швидкість переміщення дорівнює прискоренню вільного падіння.
Таким чином, якщо вектори V і прискорення A лежать уздовж прямої, то в проекція такий напрямок можна розглядати як алгебраїчні величини. При рівноприскореному русі по прямій траєкторії швидкість точки обчислюється за формулою:
V = V₀ + A * t
де:
- V₀ – початкова швидкість;
- A – прискорення (має постійне значення);
- t – час руху.
Це основна формула у фізиці. На графіку вона зображується як пряма лінія v (t). По осі ординат відкладається час, а абсцис — швидкість. Побудувавши графік, по нахилу прямої можна визначити прискорення точки A. Для цього використовується формула знаходження сторін трикутника:
A = (v-v₀)/t
Якщо на осі часу виділити проміжок Δt, то можна припустити, що рух буде рівномірним і описуватися деяким параметром, рівним миттєвому значенню в середині відрізка. Ця моментальна величина є векторною. Вона чисельно дорівнює межі, яку намагається досягти швидкість за проміжок часу, що прагне до нуля.
У фізиці цей стан описується формулою миттєвої швидкості:
V = lim(Δs/Δ t) = r-1 (t).
Тобто, з математичної точки зору, це перша похідна.
Виходячи з цього можна стверджувати, що рух Δs = v*Δt. Оскільки добуток прискорення на час визначається різницею V-V₀, то вірним буде запис:
S = V₀*t + A*t²/2 = (V² — V²₀) /2*A.
З цієї формули можна вивести вираз для знаходження кінцевої швидкості матеріальної точки:
V = (V²₀ — 2* A * s)½
Якщо ж в початковий момент V0 = 0, то формулу можна спростити до виду:
V = (2* A * s)½
Середнє значення
У кінематиці для знаходження характеристики використовується усереднений параметр. Використовують його при вивченні руху матеріальної точки або будь-якого фізичного тіла. Для визначення середньої швидкості використовують дві величини: скалярну і векторну. Першою позначають шляховий рух, а другою — переміщення.
Шляхова швидкість визначається як відношення відстані пройденого тіла до часу, витраченого на його проходження:
V = Σs / Σt
По суті, середнє значення знаходиться як середньоарифметичне від усіх швидкостей, якщо розглянута точка пересувалася однакові відрізки часу.
В іншому ж випадку знайдена величина буде зваженою середньоарифметичною величиною.
Математично формулу середньої швидкості записують так:
V (t + Δt) = Δ s/ Δt = (s (t + Δt) — s (Т)) / Δt
Враховуючи, що Δs залежить від довжини шляху, яку подолала точка за час ДП, вірним буде запис:
Δs = s(t + Δt) — s (t)
Якщо ж витрачений час прагне до нуля, вийде формула, що збігається з виразом для знаходження миттєвої швидкості.
Вектор матеріальної точки знаходиться з відношення положення тіла до відрізка часу:
V (t + Δt) = Δr / Δt = (r (t + Δt) — r (t)) / Δt
де
- r — радіус-вектор.
Наприклад, м’яч першу половину шляху довжиною 100 метрів котився з однією швидкістю протягом двадцяти секунд, а другу з іншою швидкістю і одну хвилину. Необхідно обчислити середню швидкість. Згідно з формулами, інтервал руху на першій ділянці шляху буде дорівнювати: T1 = T/2*R1, а на другому T2= T/2*R2.
Розв’язання задачі буде: Vср = s/(t1+t2) = s/(s/2*v1 + s/2*v2) = 2*V1*V2/(V1+V2) = 100/(20 +60) = 1,25 м/с.
Кутова швидкість
Цей вид швидкості проявляється при обертанні тіла навколо осі. Траєкторія являє собою круговий рух. Основним параметром, що враховується при його знаходженні, є кут повороту (f). Всі елементарні кутові рухи є векторами. Звичайний поворот дорівнює куту обертання тіла df за невеликий відрізок часу dt в протилежну сторону від ходу годинникової стрілки.
В математиці формулу для знаходження кутового параметра записують як
w = df/dt
Кутова швидкість – це аксіальна величина, що розташовується уздовж миттєвої осі і збігається з поступальним обертанням правого гвинта. Рівномірне обертання, тобто рух, при якому відбувається поворот на один і той же кут, називають рівномірним.
Модуль кутової швидкості визначають за формулою:
w = f / t
де
- f – кут повороту,
- t – час, протягом якого відбувалося обертання.
Враховуючи, що Δf = 2P, формулу можна переписати до виду: w = 2P/T, тобто з використанням періоду.
Існує зв’язок між кутовою швидкістю і числом оборотів: w = 2*p*V. Це поняття використовується для вирішення завдань при описі нерівномірного обертання. Є також вираз, що зв’язує лінійну швидкість з кутовою:
v = [w * R]
де
- R – компонента, проведена перпендикулярно до радіус-вектора.
Наприклад, необхідно визначити кутову швидкість варіатора в той момент, коли підвішена маса пройде відстань, рівну 10 метрам. Радіус плеча становить 40 сантиметрів. У початковий момент підвіс знаходиться в стані спокою, а потім починає опускатися з прискоренням A = 0,04 м/с².
З огляду на те, що лінійна швидкість варіатора збігається з рухом вантажу по прямій, можна записати: V = (2*a*S)½.
Повинна вийти відповідь: V = (4*0,04*10) ½ = 1,26 м/ с.
Кутову ж швидкість знаходять за формулою:
w = v / R
оскільки
R = 40 см = 0,4 м, то W = 1,26 / 0,4 = 3,15 рад/с.
Закон додавання швидкостей
Для різних систем відліку руху матеріальних точок існує закон, що зв’язує їх між собою. Згідно з ним, швидкість чого-небудь щодо системи, що знаходиться в спокої, визначається сумою сили переміщення швидкостей в рухомій області і більш швидкої системи відліку стосовно нерухомої.
Щоб зрозуміти суть закону, найкраще розглянути простий приклад. Нехай залізницею рухається вагон зі швидкістю 80 км/год. У цьому вагоні переміщається пасажир зі швидкістю 3 км/год. Прийнявши за систему відліку нерухому залізничну колію, можна стверджувати, що швидкість пасажира щодо неї дорівнює сумі швидкості вагона і людини.
Якщо рух вагона і пасажира відбувається в одному напрямку, то значення просто складаються, V = 80+3 = 83 км/год, в протилежному — віднімаються V= 80-3 = 77 км/год
Це правило буде вірним лише тоді, коли переміщення відбувається по одній лінії. Тому, якщо людина буде пересуватися у вагоні під кутом, слід враховувати і цей фактор, оскільки за своєю суттю шуканий параметр — величина векторна. Фактично розраховуються дві швидкості:
- зближення;
- віддалення.
Розглядається подія відбувається за час Δt. За цей проміжок людина подолає відстань Δs1, вагон же зможе проїхати шлях Δs2. Використовуючи закон, переміщення пасажира буде визначатися за формулою: Δs = Δs1 + ΔsΔs1. Власний рух людини щодо залізничної колії дорівнюватиме V = Δs1/ Δs. Виразвши значення з формули знаходження Δs, можна знайти швидкість вагона щодо залізниці: V2 = Δs2/Δs.
Використання онлайн-калькулятора
В інтернеті існують сервіси, що дозволяють знаходити параметр навіть тим, хто не знає формули або слабо орієнтується в темі. З їх допомогою можна вирішувати досить складні завдання, які вимагають скрупульозного розрахунку і чималої витрати часу. Онлайн-обчислення, зазвичай, займає не більше декількох секунд, а за достовірність результату можна не турбуватися.
Ніякої реєстрації або вказівки особистих даних сервіси, що пропонують такого роду послуги, не вимагають. Система автоматично розрахує відповідь.
З безлічі сайтів можна виділити три найбільш популярних серед споживачів:
- Довідковий портал “Калькулятор”;
- Allcalc;
- Fxyz.
Всі вони мають інтуїтивно зрозумілий інтерфейс і, що примітно, на своїх сторінках містять таблиці всіх формул, використовуваних для вирішення завдань, правильні умовні позначення і опису процесів обчислення.
Розрахунок швидкості будь-якого тіла нескладний. Головне, знати формули і правильно визначити вид переміщення. При цьому завжди можна скористатися послугами онлайн-калькуляторів і вже через них вирішити поставлене завдання або перевірити свої розрахунки.
