Для розуміння процесів, що протікають в природі, для їх математичного опису у фізиці використовують різні спрощені моделі. Однією з них є ідеальний газ. Формула внутрішньої енергії для нього відіграє важливу роль при вивченні переходів між макроскопічними станами, в яких змінюються тиск, об’єм і температура.
Ідеальні гази
Перш ніж дізнатися, за якою формулою розраховується внутрішня енергія газу, слід детально розібратися з цим класом речовин. У 1648 році вчений з Голландії Ян Баптиста ван Гельмонт ввів у фізику термін “газ”, який походить від давньогрецького слова kaos (безлад).
Згодом його почали застосовувати для всіх речовин, які відповідають цьому агрегатному стану. Газами стали вважати будь-які сполуки, які проявляють такі фізичні характеристики:
- не зберігають об’єм, тобто займають будь-який наданий їм простір;
- не мають певної форми, вона залежить від судини, в якому знаходиться речовина.
Гази легко стискаються, не мають пружності, часто є безбарвними, мають низьку щільність, легко змішуються один з одним в довільних частках. Яскравим прикладом такої суміші є повітря, що складається з кисню і азоту, а також з багатьох інших сполук (парів води, вуглекислоти, аргону і т.д.).
Молекулярно-кінетична теорія
Ця теорія є зручним і досить точним спрощенням або моделлю, яка служить для наочного розуміння процесів, що відбуваються в газах.
Основними постулатами її є наступні:
- Газові частинки рухаються хаотично по прямих траєкторіях.
- Вони не взаємодіють один з одним за допомогою будь-яких сил, крім механічних зіткнень.
- У процесі зіткнень кінетична енергія системи не змінюється, тобто зіткнення носять виключно пружний характер.
- Завдяки зіткненням частинок зі стінками судини газ надає на них тиск.
- Кінетична енергія є єдиною енергетичною складовою газу, яка однозначно визначає його абсолютну температуру.
Ці принципи лягли в основу моделі ідеального газу, яку з успіхом застосовують зараз для вирішення багатьох практичних завдань.
Вона дає хороші результати для інертних газів при відносно високих температурах і низьких тисках.
Загальне рівняння і приватні закони
Ідеальний газ – це спрощена термодинамічна модель, яка повністю базується на принципах молекулярно-кінетичної теорії. Стан будь-якого газоподібного з’єднання можна описати, якщо знати три макроскопічні величини:
- тиск P;
- об’єм V;
- температуру T.
Вперше взаємозв’язок між ними знайшов французький вчений Еміль Клапейрон в 1834 році. У своїх наукових працях він використовував багато робіт XVII—XVIII ст. Клапейрон показав, що для будь-яких хімічних сполук, які підкоряються наближенню ідеальної моделі газу, справедливо рівність
P*V = n*R*T
де:
- n – кількість речовини в молях,
- R – газова універсальна постійна, рівна 8,31 Дж / (моль*К).
Ця рівність отримала назву загального рівняння або виразу Клапейрона. У загальному випадку воно містить 4 змінні величини (P, V, T і n).
Записаний вираз було отримано Клапейроном в результаті узагальнення вже відкритих для газів приватних законів. У таблиці вони коротко перераховуються.
| Прізвище вченого, що відкрив | Постійна величина | Формула | Крива переходу між станами |
| Бойль та Маріотт | T, n | P1*V1 = P2*V2 | ізотерма |
| Шарль та Гей-Люссак | P, n | V1/T1 = V2/T2 | ізобара |
| Гей-Люссак | V, n | P1/T1 = P2/T2 | ізохора |
| Авогадро | P, T | V1/n1 = V2/n2 | ізобарно-ізотермічний перехід |
Кожен із законів легко може отримати будь-який школяр, якщо звернеться до загального рівняння. Наприклад, якщо взяти газ в закритій посудині, що має об’єм V, то вираз Клапейрона запишеться так:
P1*V = n*R*T1
Тут індекс 1 показує початковий стан системи.
Тепер можна нагріти систему до деякої температури T2. Оскільки посудина є закритим, то об’єм під час його нагрівання не змінюється, також залишається постійним кількість частинок газу n. рівняння Клапейрона для нового стану системи приймає вигляд
P2*V = n*R*T2.
Обидва вирази слід перетворити таким чином, щоб змінні знаходилися в одній стороні рівності, а постійні – в іншій:
- P1/T1 = n*R/V;
- P2/T2 = n*R/V.
Прирівнюючи ліві частини рівностей, можна отримати формулу закону Гей-Люссака.
Внутрішня енергія
Будь-яка система частинок з точки зору термодинаміки запасає в собі певну внутрішню (потенційну) енергію. Теоретично вона може бути використана для здійснення корисної роботи. Одиницею енергії в СІ є джоуль (Дж). Іноді в задачах можуть зустрічатися розрахунки в калоріях, але вони легко переводяться в одиниці системи СІ (1 калорія = 4,184 Дж).
Перший постулат термодинаміки
Нехай існує деяка газова система, яка знаходиться в стані 1. Під ним розуміють набір термодинамічних величин, що характеризують його однозначно. У разі переходу в стан 2 енергетичне рівняння процесу запишеться в такій формі:
Q (1-2) = A (1-2) + U (1-2).
Тут Q (1-2) буде називатися енергією, яка поглинена або виділена системою в процесі зміни її стану з 1 в 2. Ця величина в більшості випадків вказує на енергетичний (тепловий) обмін. Величина A (1-2) показує механічну роботу, досконалу газом в розглянутому процесі. Доданок, яке позначається U (1-2), — це зміна внутрішньої енергії, запасеної газом.
Записана рівність має назву першого закону термодинаміки. Воно говорить про те, що енергія не з’являється з нізвідки і не зникає безслідно, а лише перетворюється в різні стани.
Складові величини U
Якщо згадати наближення теорії молекулярно-кінетичної, то можна сказати, що для газу внутрішня енергія визначається виключно його кінетичної складової. Ніякі взаємодії між частинками за допомогою енергетичних полів не існують. Кінетична енергія є сумою наступних внесків:
- поступальних рухів частинок;
- їх обертання навколо власних осей;
- їх коливань близько деякого внутрішнього центру симетрії.
У разі одноатомного ідеального газу формула для U буде включати тільки поступальну складову кінетичного руху атомів, оскільки інші ступені свободи у них відсутні.
Отримання формули
Нехай є система з ідеальним газом, який займає певний посудину. За допомогою трубки приєднаємо цю посудину до іншого порожньому, тоді газ практично миттєво займе весь наданий йому об’єм. Оскільки процес протікає швидко, то можна говорити, що обмін теплом з навколишнім середовищем дорівнює нулю (Q (1-2)=0). При цьому система не робить ніякої механічної роботи (A (1-2)=0).
Це означає, що її енергія U також залишається незмінною: U(1-2) = 0. Оскільки перехід є ізотермічним, можна сміливо стверджувати, що величина U — це виключно функція температури, а не тиску або об’єму. Сталість u підтверджується законом Бойля-Маріотта:
P*V = n*R*T = const
Щоб отримати формулу енергії газу, потрібно вибрати довільний процес, який супроводжується зміною температури, і розкласти його на два переходи: ізотермічний (1-1′) і ізохорний (1′-2). Після першого з них величина U залишиться постійною, після другого вона зміниться на наступну величину:
U (1′-2) = n*Cv*(T2-T1)
Тут
- T2, T1-кінцева і початкова абсолютні температури системи,
- відповідно, Cv — теплоємність при постійному об’ємі.
Оскільки U (1-1′) = 0 (ізотермічний перехід), то можна записати такий вираз:
ΔU = n*Cv* ΔT
Записана формула дозволяє проводити розрахунок зміни ΔU для будь-яких типів ідеального газу. Для них буде відрізнятися лише саме значення Cv:
- для одноатомного Cv = 3/2 * R;
- для двоатомного Cv = 5/2 * R;
- для триатомного і більше Cv = 3 * R.
Теплоємність при постійному тиску
Будь-який неізотермічний перехід між двома газовими станами можна уявити не тільки з використанням ізохори, але і через ізобару. У цьому випадку перший закон термодинаміки запишеться в наступному вигляді: Q = A + ΔU. При ізобарному переході газ здійснює механічну роботу, яка обчислюється так: A = P* ΔV = n*R* ΔT.
Згідно з визначенням при охолодженні на 1 к системи, що складається з 1 моля частинок газу без зміни тиску, виділяється енергія Cp (теплоємність при постійній величині P). Тоді виходить для ізобарного переходу наступна формула:
Q = n * Cp * ΔT
Підставляючи всі вирази для A, Q і ΔU в формулу першого постулату термодинаміки, можна отримати наступну рівність:
n*Cp* ΔT = n*R* ΔT + n*Cv* ΔT =>Cp = R + Cv.
Ця формула пов’язує дві різні теплоємності один з одним, що дозволяє використовувати будь-яку з них для розрахунку зміни внутрішньої енергії ΔU.
Таким чином, модель ідеального газу є універсальним теоретичним інструментом для дослідження зміни макроскопічних термодинамічних величин тиску, температури та об’єму. З її допомогою легко отримати формулу для розрахунку зміни внутрішньої енергії газової системи, яка залежить виключно від температури і визначається тільки кінетичним внеском складових молекул.
