Коливання вантажу на пружині

Коливання вантажу на пружині — формули, рівняння, задачі



Теорія періодичності належить до загальної фізики. Повторюваність деяких процесів протягом часу визначають за допомогою різних величин, наприклад:

  • кута;
  • напруженості;
  • температури.

Для вивчення явища зручно використовувати маятник. Одним з його видів є пружина з вантажем. Коливання в такій системі залежать від:

  • періоду;
  • частоти;
  • амплітуди.

Дізнатися ці параметри можна, знаючи початкові умови і рівняння, що описують механічну роботу.

Гармонічні коливання - визначення

Загальні відомості

Коливання – це зміни будь-якої величини в точності або приблизно повторювані в часі. Якщо розглядати процес, з точки зору механіки, то він описується положенням тіла.

Повторення в точності є періодичним.

Математично це можна записати формулою:

x (t + T) = x (t)

де

  • T — час, протягом якого відбувається одне повне коливання (період).

Число циклів прийнято позначати буквою N. його знаходять як відношення часу до періоду:

N = t/T

При дослідженні процесу не завжди буває зручно оперувати часом, тому часто використовують число коливань за одиницю часу.

Ця величина називається частотою. Знаходять її за формулою:

f = 1/T.

Довести справедливість наведеної рівності просто: число коливань залежить від часу і частоти:

N = f * t. Звідси: f = N/t = (t/T)/t = 1/T

Дуже важливо не тільки розуміти суть характеристик коливання, а й знати одиниці його вимірювання. Ось основні з них:

  • період – секунди (с);
  • частота – герци (Гц);
  • число коливань – безрозмірна величина.

Якщо протягом часу змінюється і координата, то періодично буде змінюватися і швидкість. Значить:

vx (t + T) = Vx (t)

Виходячи з вірності рівності, можна сказати, що умова періодичності буде справедливо і для проєкції, тобто зміни прискорення.

Звідси випливає, що сила, яка діє на тіло, теж буде змінною:

Fx (t + T) = Fx (t)

Під час коливання також відбувається зміна потенційної і кінетичної енергій. Дійсно, оскільки в процесі коливання швидкість не є постійною величиною, то, відповідно, буде змінюватися кінетична робота.

Потенційна ж енергія залежить від координат. Наприклад, якщо розглянути період коливань пружинного маятника, то за цей час тіло переміститься з нижнього положення в верхнє і повернеться назад. Значить, координата фізичного об’єкта зміниться від нуля до якогось граничного значення.

Слід зазначити, що періодичні рухи обов’язково будуть відбуватися в тій системі, в якій є положення рівноваги. Причому воно повинно бути стійким.

Тобто існує рівнодійна сила, яка прагне привести об’єкт в положення спокою. Тому для підтримки відхилень потрібна додаткова сила. Коливальну систему (осцилятор) під дією вимушеної періодичної сили називають вимушеною.

Період коливань маятника - формула

Пружинний маятник

Цей пристрій є найпростішим прикладом вільних коливань. До його складу входить:

  • кронштейн;
  • пружина;
  • вантаж.

В якості останнього може виступати будь-яке фізичне тіло.

Маса пружини в порівнянні з вантажем вважається малою і при дослідженнях не враховується.

При вивченні такої системи важливим завданням є вимірювання періоду руху тіла, підвішеного до пружини. Визначення поняття пружинного маятника, яке дається в підручниках з фізики, досить узагальнене. Вважається, що це конструкція, в якій тіло, що має масу m, підвішене на пружній пружині володіє жорсткістю K. При цьому зі стану рівноваги систему може вивести пружна сила

F = -K * x

де:

  • x – відстань від середини пружинного елемента до поверхні прикріпленого до нього вантажу.

Можна виділити дві умови виникнення вільних коливань:

  • Під час відхилення тіла від положення рівноваги повинна виникати зворотна сила.
  • Сили опору (тертя) повинні бути малі в порівнянні з енергією, що прагне повернути тіло назад.

Суть вивчення гармонійних коливань полягає у визначенні їх частоти руху або періоду. У пружинному маятнику, втім, як і в будь-якій коливальній системі, параметри залежать від ряду характеристик. З основних величин, що описують процес, можна виділити:

  • масу вантажу;
  • жорсткість.

Тому завдання і полягає в з’ясуванні, як період залежить від цих двох параметрів.

Під час експериментів регулювати масу досить легко. Для цього можна взяти еталонні гирі і, поєднуючи їх, збільшувати вагу. Жорсткість пружини можна змінити, додаючи паралельно або послідовно до неї інше тіло.

Щоб з’ясувати, як буде змінюватися характеристика елемента, що розтягується, потрібно знати, що ж являє собою цей параметр.

Так, під жорсткістю тіла розуміють відношення сили пружності до подовження: k0 = F/ΔL. Вимірюється дана величина в ньютонах, поділених на метр (Н/м).

Виходячи з правила, якщо з’єднати дві пружини паралельно і деформувати їх, то можна стверджувати, що перший і другий елемент розтягнеться на однакову довжину ΔL. Значить, виникнуть дві однаково спрямовані сили пружності. Звідси рівнодійна буде дорівнювати:

K = 2F/ΔL = 2K0

Для послідовного ж з’єднання довжина всієї системи збільшиться на 2ΔL. Сила пружності буде дорівнює F. Відповідно, жорсткість буде змінюватися за формулою:

K = F/2δl = k0/2

Пружинний маятник - визначення і малюнок

Залежність періоду

При проведенні експерименту можна досліджувати п’ять різних комбінацій поведінки вантажу на пружині – два варіанти пов’язані з вагою і три з жорсткістю. Щоб виконати дослід самостійно потрібно буде взяти вертикальний кронштейн, дві однакові пружини і два рівних за вагою вантажі.

Оскільки в реальності період буде досить маленький, то для його вимірювання можна взяти час, наприклад, п’ятдесяти коливань, а потім отриманий результат розділити на це число. Підрахунок часу зручно виконувати за допомогою секундоміра.

Обчислені результати потрібно занести в таблицю. Приблизний порядок чисел повинен вийти таким:

k/m m0 2m0
k0/2 0,68 0,93
k0 0,46 0,64
2k0 0.34 0,47

Ці дані можна проаналізувати. Висновки будуть наступними:

  • з ростом маси фізичного тіла період циклічності збільшується;
  • у міру збільшення жорсткості період коливань зменшується.

Наведені твердження, можливо, описати і кількісно. Виходячи з результатів, величини, що стоять в осередку m0k0 і 2m02k0 майже збігаються. З точки зору фізики, так і повинно бути.

Якщо взяти вантаж на пружині і виміряти характеристику, а потім додати до нього точно таку ж систему, то період не зміниться. Це і можна спостерігати під час досліду.

Значить, період руху залежить від того, яким буде відношення маси до жорсткості.

За аналогією можна розглянути, як впливає жорсткість. З експерименту видно, що якщо її збільшити двічі на одну і ту ж величину, то вона зросте в чотири рази, а значення зворотне частоті зменшиться на це ж число. Звідси можна припустити, що період буде обернено пропорційний кореню квадратному з жорсткості.

Об’єднавши ці дві гіпотези можна зробити висновок, що період амплітуди коливань вантажу на пружині буде прямо пропорційний кореню квадратного з відношення маси до жорсткості:

T = √(m/k)

Перевірити це твердження можна по теорії розмірності. Підставивши в формулу одиниці виміру, отримаємо:

√(m/k) = √(кг/(Н/м)) = √(кг * м/Н)

Враховуючи, що ньютон — це відношення метра до секунди у квадраті або кілограму, помноженому на метр і поділеному на секунду, розмірна рівність набуде вигляду:

√(кг * м/Н) = √(c² * м/м) = √с² = с

Для написання повної формули в рівність потрібно ввести ще коефіцієнт. Він буде дорівнювати 2P. Значить, період коливань пружинного маятника кількісно описується виразом:

T = 2P * √ (m/k)

Механізм коливання

Приклади розв’язання задач

Практичні завдання допомагають краще розібратися в теоретичному матеріалі і запам’ятати потрібні для вирішення формули. Існують різні приклади, за допомогою яких можна досить швидко опрацювати весь вивчений курс.

Ось два завдання з докладним описом рішення на обчислення параметрів пружинних коливань тіла. Розібравшись в них, можна переходити до самостійного обчислення складних прикладів.

Задача №1

Вантаж, підвішений до пружини, переміщається циклічно по вертикальній осі. За вісім секунд він здійснив тридцять два коливання. Треба визначити частоту.

Отже, за умовою завдання дано час t = 8 c і число повного переміщення тіла N = 32. Щоб вирішити це завдання потрібно скористатися формулою знаходження періоду: T = t/N. Всі величини для цього є: T = 8c/32 = 1/4 = 0,25 секунди. Частота пов’язана з періодом виразом: f = 1/T.

Після підстановки чисел вийде відповідь 4 Гц.

Задача №2

Вантаж здійснює коливання на пружині з жорсткістю сто ньютон на метр. При цьому максимальна швидкість руху становить два метри в секунду. Обчислити масу тіла враховуючи, що максимальна амплітуда відхилення від точки спокою становить десять сантиметрів. Силою тертя можна знехтувати.

При вирішенні прикладу потрібно міркувати наступним чином. Коли буде максимальне розтягнення пружини, то швидкість вантажу дорівнює нулю: V1= 0. Значить, кінетична енергія теж буде нульовою: Ek1 = 0.

У цей момент залишиться тільки потенційна енергія витягнутої пружини Ep1. В положенні рівноваги швидкість тіла максимальна і дорівнює V = 2 м/с. Оскільки пружина в цей момент нерозтягнута і нестиснута, то Ep = 0.

За законом збереження енергії: Ek1 + Ep1 = Ek + Ep. Кінетична робота при розтягнутій пружині дорівнює нулю, так само як і потенційна в стані спокою, значить,

Ep1 = (k * L2)/2

де

  • L — подовження;
  • k — жорсткість.

Енергію ж можна знайти так: Ek = mV2/2. Оскільки тіло здійснює коливання близько положення рівноваги, то витягнутість пружини буде дорівнювати амплітуді.

Перед тим як безпосередньо переходити до складання підсумкової формули і обчислень необхідно всі значення вимірювань привести відповідно до СІ.

Так, амплітуда вказана в сантиметрах, тому її потрібно перевести в метри. Тепер можна переходити до складання відношення і підстановки даних:

(k * L2)/2 = mV2/2

Звідси:

m = (k * L)/V2 = (100 Н/м * 0,1² м)/2² м/с = 1/4 = 0,25 кілограма.

Leave a Reply

Ваша e-mail адреса не оприлюднюватиметься. Обов’язкові поля позначені *