Якщо якусь матеріальну точку підвісити на нитку, що майже не має ваги, то вийде математичний маятник. Він вільно гойдається взад і вперед під дією сили тяжіння, яка повертає підвішене тіло в положення рівноваги, якщо його змістити.
Математика тут досить складна. Перші наукові дослідження в цій області належать Галілео Галілею, саме вони лягли в основу найточнішої технології хронометражу.
Проста гравітація
Так званий простий маятник – це всього лише ідеалізована математична модель. Це вантаж на кінці безмасового шнура, підвішеного на осі без тертя. Якщо його штовхнути, він буде розгойдуватися з постійною амплітудою, але з деякими умовами:
- Стрижень або нитка, на якому гойдається вантаж, не має маси і не може розтягуватися.
- Вантаж – це точкова маса.
- Рух відбувається тільки у двох вимірах, тобто вантаж не може окреслити еліпс, а тільки дугу.
- Енергія руху не витрачається на тертя або опір повітрю.
- Гравітаційне поле однорідне.
- Основа всієї конструкції не рухається.
Диференціальне рівняння, яке представляє рух простого маятника, виглядає наступним чином:
d²/dt² + g/ℓ sin θ = 0
де
- g – прискорення сили тяжіння;
- ℓ – довжина маятника;
- θ – кутове зміщення
На графіку 1 показані сили, що діють на вантаж. Варто звернути увагу, що вантаж описує дугу. Кут θ вимірюється в радіанах, і це має вирішальне значення для цієї формули. Синя стрілка – це гравітаційна сила, яка діє на маятник, а фіолетові вектори — це та ж сама сила, тільки розкладена на компоненти, паралельні і перпендикулярні миттєвому руху вантажу.
Напрямок миттєвої швидкості завжди вказується вздовж червоної осі, яка вважається тангенціальною, оскільки її напрямок завжди торкається кола. І перш ніж вивести рівняння сили деривації, варто згадати другий закон Ньютона:
F = ma
За
- F приймають суму сил, що діють на об’єкт;
- m – масу;
- a — прискорення.
Коротка фіолетова стрілка представляє компонент гравітаційної сили. Використовуючи тригонометрію можна визначити її величину. Таким чином ми отримуємо:
F = – mg sin θ = ma; a = – g sin θ
де
- g – прискорення сили тяжіння поблизу поверхні землі
Від’ємний знак на правій стороні означає, що θ і вантаж завжди вказуються в протилежних напрямках. Це цілком логічно, оскільки коли маятник гойдається сильніше вліво, очікується, що він прискориться при русі назад — вправо.
Це лінійне прискорення, a вздовж червоної осі може бути пов’язано зі зміною кута θ за формулами довжини дуги (s):
s =θθ; v = ds / dt = ℓdθ/dt; a = d²s/dt² = ℓd²θ/dt²
З цього випливає:
ℓd²θ/dt² = – gsin θ, d²θ/dt² + d/ℓ sin θ = 0
Момент сили
Для початку потрібно визначити цей показник на маятниковому шарнірі, використовуючи силу, створену гравітацією
(Fg): T = ℓ x Fg
де
- ℓ – вектори довжини маятника.
Тут саме час розглянути величину крутного моменту (моменту сили) на маятнику:
|T| = – mgℓ sinθ
де
- m – маса,
- g – прискорення сили тяжіння,
- ℓ – довжина,
- θ – кут між вектором довжини і гравітацією.
Далі, саме час переписати момент імпульсу:
L = r x P = mr x (ꞷ x r)
Величина кутового моменту і його похідна за часом |L | = mr² w = mℓ² d2θ/dt². Формула моменту сили після всіх обчислень буде виглядати наступним чином:
T = r x F = dL/dt
Збереження механічної енергії
Таке рівняння можна отримати за допомогою однойменного принципу.
Зміна потенційної енергії виражається: Δ U = mgh, тоді як кінетична (вантаж почав рух зі спокою) представлена формулою:
Δ K = 1/2 mu².
Оскільки, як відомо, ніяка енергія не втрачається, придбання в одному моменті повиненно дорівнювати втраті в іншому: 1/2 mu² = mgh.
Коливальний рух
Період коливань математичного маятника (простого гравітаційного) залежить від його довжини, локальної сили тяжіння і в невеликій мірі від максимального кута, від якого вантаж відхиляється від вертикалі θ 0, званого амплітудою.
Він не залежить від маси вантажу. Якщо амплітуда обмежена малими коливаннями, то на період T, час, необхідний для повного циклу є:
T≈ 2π√ L/g.
При цьому
- L – довжина маятника;
- g – місцеве прискорення гравітації.
Потрібно сказати, що для невеликих коливань період не залежить від амплітуди. Така властивість називається ізохронізмом. Саме вона стало причиною того, що маятники використовуються для хронометражу.
Період зростає до нескінченності як тільки θ 0 наближається до 180°, оскільки це значення є нестабільною точкою рівноваги для маятника. Істинний період може бути записаний в декількох різних формах.
Різниця між істинним і періодом невеликих коливань називається круговою помилкою. У випадку з типовими настінними годинниками, у яких маятник має розмах 6° і, отже, амплітуду 3° (0,05 радіана), різниця складе близько 15 секунд в день.
Формула математичного маятника, при малих коливаннях, коли він наближається до гармонійного осцилятора, і його рух, як функція часу t, знаходить вираження наступним чином:
θ(t) = θₒ cos (2 π/T * t + ⱷ)
де
- фі — (ⱷ) – постійна величина, що залежить від початкових умов.
Для маятників цей період незначно змінюється в залежності від деяких факторів, наприклад:
- плавучість і в’язкісний повітря;
- маса нитки або стрижня;
- розмір і форма вантажу і способи його прикріплення до шнура;
- гнучкість і розтягнення нитки.
Якщо необхідні точні розрахунки, звичайно, всі ці поправки повинні враховуватися.
Фізичний маятник
Даний маятник вляє собою будь-яке хитне тверде тіло, що вільно обертається навколо фіксованої горизонтальної осі. Відповідна еквівалентна довжина – L, а для розрахунку часу використовується відстань від осі до центру коливань. Ця точка розташована над центром маси на відстані від осі, що традиційно називається радіусом коливань, який залежить від розподілу ваги вантажу.
Історична хроніка
Одним з найбільш ранніх відомих застосувань маятника був пристрій сейсмометра (I століття) китайського вченого династії Хань – Чжана Хена. Його функція полягала в тому, щоб розгойдувати і активувати один із серії важелів після того, як він був порушений тремором землетрусу, яке відбувалося далеко від місця вимірювання. Звільнена важелем, маленька кулька випадала з пристрою у формі урни в одну з восьми горловин металевої жаби внизу, у восьми точках компаса, що і вказувало напрямок землетрусу.
Деякі джерела стверджують, що Єгипетський астроном X століття Ібн Юнус використовував маятник для вимірювання часу, але це була помилка, що виникла в 1684 році з британським істориком Едвардом Бернардом.
В епоху Відродження великі маятники з ручним накачуванням використовувалися в якості джерел енергії для ручних поршневих машин, таких як сильфони і насоси. Леонардо ДаВінчі зробив багато малюнків руху маятників, хоча і не усвідомлював його значення для хронометражу.
Дослідження Галілея
Італійський вчений Галілео Галілей був першим, хто почав вивчати властивості маятників, починаючи приблизно з 1602 року. Найбільш ранній існуючий звіт про його дослідження міститься в листі Гвідо Убальдо дель Монте з Падуї від 29 листопада 1602 року. Його біограф і учень, Вінченцо Вівіані, стверджував, що його інтерес був викликаний близько 1582 року, коли фізик розгойдував люстри в соборі Пізи.
Він також виявив, що період не залежить від маси вантажу і пропорційний квадратному кореню з довжини всієї конструкції. Спочатку він використовував маятники вільного обертання в простих додатках синхронізації.
Його друг – лікар Санторіо Санторій, використовуючи напрацювання Галілея, винайшов прилад, який вимірював пульс пацієнта. У 1641 році Галілео задумав і продиктував своєму синові Вінченцо конструкцію маятникових годинників. Той почав будівництво, але не завершив його, оскільки помер у 1649 році. Так з’явився перший гармонійний осцилятор, використаний людиною.
Маятниковий годинник
Перший зразок побудував в 1656 році голландський вчений Християн Гюйгенс. Це було значне поліпшення в порівнянні з існуючими механічними годинниками. Їх точність була покращена з відхилень від 15 хвилин до 15 секунд на день. Маятники поширилися по Європі, так як всі існуючі годинник стали модифікуватися.
Англійський вчений Роберт Гук вивчив конічний маятник (близько 1666 року), який міг вільно коливатися в двох вимірах, а вантажі обертатися по колу або еліпсу. Він використовував рух цього пристрою як модель для аналізу орбітального руху планет. Гук запропонував Ісааку Ньютону в 1679 році свої напрацювання.
Він стверджував, що складові орбітального руху складалися з інерційного руху по дотичному напрямку і руху в радіальному напрямку. Це зіграло свою роль у формулюванні Ньютоном закону всесвітнього тяжіння. Роберт Гук також був відповідальним за те, що ще в 1666 році припустив, що маятник можна використовувати для вимірювання сили тяжіння.
У 1687 році Ісаак Ньютон В Principia Mathematica показав, що це сталося тому, що Земля була не справжньою сферою, а злегка сплюснутою (сплюснутою на полюсах) від дії відцентрової сили через її обертання, це і викликає збільшення сили гравітації.
Портативні маятники стали здійснювати рейси в далекі країни, в якості прецизійних гравіметрів для вимірювання прискорення вільного падіння в різних точках Землі, що в підсумку призвело до визначення точної моделі форми планети. Потім було перетворення досліджень і висновків вчених в нові класи приладів, з додатковими параметрами. Наприклад:
- 1721 р. – маятник з температурною компенсацією;
- 1851 р. – маятник Фуко.
- У 1930 році рішення задачі по точному хронометражу було знайдено, в 1921 був винайдений кварцовий генератор.
