З точки зору фізики, досить цікавим випадком є поширення частинок в перпендикулярному напрямку від коливання, що викликало їх. Таке явище називається поперечними хвилями.
Їх вивченням займався свого часу Максвелл, який зробив помилкове припущення, що з поперечних хвиль складається і світло. По суті, взаємодія сусідніх елементів викликана деформацією. При цьому існувати вони можуть тільки у твердих тілах.
Загальні відомості
Хвиля являє собою сукупність коливань, що передаються через простір за певний час. Це визначення застосовується як до сферичного, так і плоского середовища. З’явитися вона може в газі, твердому тілі, рідини.
Всі існуючі хвилі прийнято розділяти на два великих класи:
- Біжучі – це явища, при яких відбувається передача енергії без зміни положення частинок.
- Пружні – хвилі, що переносять енергію і призводять до виникнення пружності.
Пружні коливання бувають поздовжніми і поперечними. Перші характеризуються зміщенням елементів в напрямку поширення коливань. До їх виникнення призводить стиснення або розтягнення середовища. Тобто виникає реакція опору середовища на зміну об’єму, наприклад, звукові хвилі, коливання в стрижні.
Поперечними ж хвилями називають деформацію, при якій відбувається зрушення шарів середовища. При такому роді коливань спостерігається поява западин і гребенів. Виникати вони можуть тільки у твердому тілі. Найбільш яскравим прикладом поперечних хвиль може служити мотузка або волосина в натягнутому стані.
Розглядаючи хвильовий процес, прийнято вважати, що частинка речовини являє малий елемент об’єму цього матеріалу з розмірами набагато більше, ніж відстані між молекулами. Ці ж частинки для зручності приймаються за точки. Якщо в будь-якому середовищі змусити цю точку здійснювати коливання, то через зв’язок її з іншими частинками відбудеться передача коливань. Цей процес і заведено називати у фізиці хвилею.
Поперечні коливання мають поляризацію. Ця характеристика описує поведінку вектора коливань в площині. Існує кругова, еліптична і лінійна поляризація. Її вид залежить від форми кривої, що описується кінцем амплітудного вектора.
Механізм і закон поширення
Механічні хвилі можуть поширюватися тільки в пружному середовищі. Речовина називається пружною, якщо після деформування вона знову приймає свою початкову форму.
Природа поздовжніх коливань пов’язана з коливаннями частинок, що залишаються в площині. При цьому утворені коливання перпендикулярні напрямку поширення хвилі. Називається такий ефект деформаційним зрушенням. У газоподібних речовинах деформація може бути тільки об’ємного характеру.
Основне завдання вивчення хвиль полягає у встановленні закону, за яким вони змінюються протягом часу і параметрів, що характеризують коливання. Одним з них є зміщення S. Воно показує, як змінюється положення точок щодо їх знаходження в рівновазі. Простим видом коливань є гармонійна хвиля. Для її існування потрібно, щоб зміщення всіх частинок відбувалося з однаковим періодом. Для цього необхідні умови, при яких джерело коливань саме буде здійснювати постійні гармонійні обурення.
Нехай є нескінченна струна. По ній поширяться хвиля від джерела, що знаходиться на її початку. Коливання, що відбуваються в ній, можна описати формулою:
s0 = A0* cos(wt + φ)
де:
- A0 – амплітуда;
- wt – зміна циклічної частоти;
- φ – фаза в початковий період.
Якщо взяти будь-яку точку на струні і виміряти коливання, то можна буде переконатися, що вони відстають по фазі від генеруючого їх джерела. Цю затримку можна описати виразом:
s0 = a * cos (w (t — t1) + φ)
де
- t1 — час, необхідний для того, щоб точка хвилі прийшла в досліджуване місце.
При цьому якщо середовище поширення не поглинає енергію, то амплітуда в довільній точці і початкова будуть рівні.
Для опису одновимірного коливання часто використовується хвильове число. Позначається воно буквою k і знаходиться через довжину хвилі λ як:
k = 2P/λ = w/V
Таким чином, закон поширення поперечного збурення можна буде описати формулою:
s = a * cos (w * t — k * x + φ)
Ця формула називається формулою плоскої хвилі.
Величина в дужках – це хвильова фаза в довільній точці.
Фазова швидкість
Поперечна хвиля в площині описується через s, тобто зміщенням від точки рівноваги в будь-якій точці простору в довільно обраний час. Фактично – це проєкція вектора зміщення на напрямок коливань.
Якщо розглянути хвилю в зафіксований момент часу, то формула набуде вигляду:
s (x, t) = A * cos (-2P * x / λ)
Для дослідження, як буде відбуватися коливання, найкраще побудувати графік поширення коливань. У декартових системах координат по осі абсциси потрібно буде відкласти зміщення (s), а ординати — точку X.
Схема зміни хвилі буде виглядати наступним чином. У початковий момент часу пружне тіло отримає деформацію і зміщення складе величину а. Потім по плавній лінії інтенсивність S буде спадати до тих пір, поки не поміняє знак. Через деякий час ситуація повториться. Відстань між двома вершинами, а саме точками, що коливаються в одній фазі, називають довжиною хвилі. Можна сказати, що довжина є просторовим періодом.
Дивлячись на формулу, можна стверджувати, що з ростом t графік буде зміщуватися вліво. В цьому випадку інтерес представляє не причина переміщення, а швидкість. Для того щоб фаза була постійною, дужка у формулі повинна бути константою. З цього випливає, що
(2 * p/λ) * x = wt — const.
Для спрощення виразу ліву і праву частину можна помножити на λ і розділити на 2*p.
В результаті вийде:
x = (λ * w/2 * p) * t — (const * x/2 * p)
Для зручності перший член можна позначити буквою C, а другий X0. Якщо згадати твердження, що описує рівномірний прямолінійний рух x (t) = x0 + Vx * t, то можна виявити схожість з отриманим виразом.
Виходячи зі сказаного, можна записати:
x = x0 + c * t
де
C = λ * w/2 * P
Омега, поділена на два Пі — це частота. Її прийнято позначати буквою ν. Звідси можна дати визначення фазовій швидкості: c є характеристикою коливання і являє собою добуток довжини хвилі на частоту. При цьому довжина λ характеризується відстанню, що проходиться хвилею за час, рівний одному періоду:
λ = c * T
Коливання в струні
Струною називається тонка, гнучка, сильно натягнута нитка з рівномірно розподіленою по довжині густині. Згідно з правилом, що визначає, які хвилі називаються поперечними, можна стверджувати, що при коливанні струна буде мати максимум два відхилення. У початковий момент t0, поки вплив на струну не створюється, вона не деформована.
Сила натягу струни дорівнює F0. У певний час до струни прикладається додаткова сила F. якщо скласти ці дві сили, то по струні побіжить злам, спрямований в протилежну сторону від вектора F.
За час ϴ положення струни зміниться. Спостережуваний злам пробіжить відстань, що позначається L. При цьому кінець струни переміститься на відстань ΔL. для розглянутого випадку фазова швидкість представляє злам, що проходить уздовж струни.
Фізично поширення коливання відбувається плавно. При додаванні деформації деформується спочатку одна ділянка, а потім послідовно і інші. Якщо на струні зафіксувати точку, то можна буде знайти особливість її переміщення, що полягає в тому, що після зовнішнього впливу вона почне переміщатися догори. Оскільки струна пряма, то всі частинки рухаються з однаковою швидкістю.
Аналізуючи ситуацію, можна сказати, що фазова швидкість дорівнює відстані, що пройдена зламом, поділеній на час:
c = L/Θ
За той же самий час частинки струни підіймаються зі швидкістю V. Звідси можна знайти швидкість руху струни:
V = ΔL/Θ
Виходить, що на частинки діє сила, що змушує їх рухатися вгору з однією і тією ж швидкістю. Для зміни імпульсу сили можна записати формулу, використовуючи другий закон Ньютона:
F * Θ = Δp
При цьому слід зазначити, що імпульсом буде володіти лише та частина струни, яка вже зламалася.
Зміна імпульсу відбувається шляхом залучення все більшої маси струни. Тому вірно буде записати:
Δp = m * V
Властивістю цієї маси є рівномірний розподіл по струні. Позначається цей параметр грецькою літерою ρ, називається лінійною густиною і знаходиться з формули:
ρ = m/l
Прикладену силу можна визначити зі співвідношення
F/F0 = ΔL/L
звідси
F = F0 (ΔL/L)
Підставивши формули параметрів в основний вираз і виконавши ряд перетворень, можна отримати наступну формулу:
c = √F0/ρ
Приклад рішення задачі
У розділі “коливання і хвилі” загальної фізики учням пропонується навчитися вирішувати задачі на знаходження фазової швидкості. Для її обчислення потрібно розуміти, що вона залежить від сили натягу і густини речовини, що деформується.
Звідси випливає, що для збільшення швидкості потрібно докласти велику силу, а для зменшення — збільшити густину матеріалу. Яскравим прикладом цього є гітара, в якій шоста струна набагато товща, ніж перша.
Ось приклад типової задачі на знаходження фазового параметра.
Нехай є мотузка з масою 0,85 кг. Її натягнули між двома опорами, що знаходяться на відстані 30 метрів одна від одної. Сила натягу мотузки становить 1950 ньютон. Потрібно обчислити, за який час імпульс перейде від однієї опори до іншої. Рішення прикладу необхідно виконувати в наступній послідовності:
- Виписати вихідні дані з одиницями вимірювань: m = 0,85 кг, L = 30 м, F0 = 1950 Н.
- Схематично намалювати дві опори і натягнуту мотузку. На зображенні вказати напрямок сили і довжину конструкції.
- Використовуючи те, що час поширення імпульсу прямо пропорційний довжині мотузки і обернено пропорційний швидкості, з якою імпульс переміщається, записати робочу формулу: t = L/c.
- Виходячи з відомих даних, швидкість переміщення невідома. Щоб її знайти, потрібно використовувати рівність: c = √F0/ρ. Сила дана за умовою, а густину легко визначити через масу: ρ = m/l.
- Підставивши отримані формули в робочу формулу, треба обчислити відповідь: t = L * √ m/F0 * L = √m * l/F0 = √0,85 кг * 30 м / 1950 Н = 0,11 с = 110 мс.
Рішення задач передбачає знання формул зміщення при поширенні хвилі і фазової швидкості, а також закону, за яким описується коливання.
При цьому важливо розуміти, що частота коливань хвилі збігається з частотою джерела, що її викликало. Це випливає з того, що коливання частинок середовища є вимушеними, а значить, не залежать від властивостей простору, в якому вони поширюються.
Тому при переході з одного середовища в інше частота залишається незмінною, а змінитися можуть лише швидкість і довжина.
