Механіка – це великий розділ фізики, що вивчає зміну положення тіла щодо системи початкових координат. Зміна розташування відбувається за рахунок руху.
Прямолінійне рівномірне переміщення матеріальної точки, мабуть, найцікавіша тема розділу. Адже при ньому швидкість залишається постійною, а траєкторія шляху представляє пряму лінію, що нескінченно віддаляється від початкової точки. Особливо добре це видно на графіку залежності проєкцій від часу.
Загальні відомості
Під рухом у фізиці розуміють зміну координат тіла щодо інших об’єктів з плином часу. Розділ, який вивчає те, що відбувається, називається кінематикою. Ця наука досліджує тільки процеси переміщення, не беручи до уваги причини, що її викликали.
Систему, що складається з нерухомих відносно один одного тіл, можна розглядати як початок відліку при русі. Для цього складається група рівнянь, які визначають, як змінюється положення точки, що переміщається з плином часу. Іншими словами, визначають координати тіла для будь-якого моменту. Називають їх рівняннями руху. У декартових координатах система виглядає так:
x = f1(t); y = f2(t); z = f3(t)
Існують наступні види руху:
- рівномірний прямолінійний;
- рівноприскорений;
- переміщення по колу;
- гармонічні коливання.
Всі ці зміни положення в просторі відрізняються за видом швидкості, прискорення і принципом зміни координат.
При криволінійному переміщенні, на відміну від прямолінійного, модуль руху завжди буде перевищувати шлях. Це пов’язано з тим, що відстань, пройдена по дузі, завжди буде більше хорди.
Розглядаючи переміщаються тіла через однакові часові проміжки, можна виділити рівномірні і нерівномірні рухи. Крім цього, існують переміщення тіла паралельно самому собі – вони називаються поступальні.
При дослідженні руху часто вимірюють швидкість зміни положення, тобто швидкість. Якщо моменту часу відповідає радіус-вектору рухомого тіла, то за малий проміжок часу матеріальна точка переміститься на відстань:
Δs = Δr = r2 — r1
Але для характеристики переміщення використовують не саму швидкість, а її середнє значення:
Vср= Δs/Δt
Принцип дослідження переміщення
Для того щоб вивчити рух тіла в просторі, потрібно вибрати систему відліку. Нехай є тіло, що знаходиться в точці a. Через деякий час воно перемістилося в точку b. Ці дві координати можна з’єднати прямим відрізком, що є вектором переміщення S. Оскільки відомо, де знаходилося тіло спочатку і S, то можна визначити його положення в будь-який час незалежно від виду пересування тіла.
У механіці працюють не з самим вектором, а його проєкцією. Тому для дослідження зміни положення потрібно вибрати систему координат. За неї приймаються осі ординати і абсциси. Тоді початкове положення можна задати як X0 і Y0, а кінцеве X, Y.
Ці значення є фіксованими і не залежать від часу. Досконале переміщення можна описати якраз за допомогою проєкції різниці кінця положення і початку: X — X0 = Sx; Y — Y0= Sy. Звідси можна вивести фундаментальне правило знаходження зміни положення для будь-якої точки часу:
- x (t) = X0 + Sx (t);
- y (t) = Y0 + Sy (t).
Таким чином, щоб дослідити прямолінійний рівномірний рух, потрібно вирішити систему рівнянь, а для цього необхідно знати початкове положення і зміну проєкції переміщення тіла з плином часу на координатну вісь.
Значить, якщо за будь-які рівні проміжки часу тіло, здійснює однакове переміщення, то пройдений шлях називають РПР (рівномірно-прямолінійним рухом). Наприклад, за Δt рівне одиниці тіло подолає відстань рівну S1, за Δt2 відповідно S2. Виходить, що вектор переміщення матеріальної точки завжди спрямований в одну сторону і має один і той же модуль.
Слід зазначити, що характеристикою такої зміни положення є швидкість РПР. Для її визначення використовується відношення вектора переміщення точки до часу, за який воно відбулося:
V = S/t
При цьому у формулі час може мати будь-яке значення. Він є скалярною величиною і незмінним. Значить, швидкість РПР можна описати постійним вектором, що співнаправлений з переміщенням вектора відстані.
Знаходження вектора
Щоб вирішити головне завдання механіки щодо РПР, потрібно скористатися формулою для знаходження вектора швидкості. З цього визначення випливає, що
S = V * t
Відомо, що якщо є співвідношення векторів, то його ж можна використовувати для їх проєкцій на координатні осі. Значить:
Sx = Vx * t і Sy = Vy * t
Отже, якщо відомі проєкції швидкості, то можна визначити і вектор проєкції переміщення в будь-який час. Звідси випливає, що рішення основного завдання для РПР матиме вигляд:
- x (t) = X0 + V x (t);
- y (t) = Y0 + Vy (t).
Ці два рівняння потрібно завжди розглядати в сукупності, оскільки положення тіла задається на площині двома координатами. Але насправді такою системою користуватися не дуже зручно. Тому на практиці застосовують спрощений вираз.
X0 і Y0 залежать від значень координат. Так, вираз значно спроститься, якщо вектор швидкості буде спрямований уздовж однієї з координатних осей. В результаті тіло буде лежати на одній з них в початковий момент.
Наприклад, нехай це буде вісь Ікс. Якщо її розташувати так, що вона буде розміщена паралельно вектору швидкості, то вісь Ігрек буде йому перпендикулярна. Зміщуючи координатні осі, точку початкового положення можна помістити на вісь абсциси. Для такої поверненої системи сукупність рівнянь РПР буде також справедливою. Але Ігрек початковий для даної системи буде дорівнювати нулю. Йому ж буде дорівнює і проєкція швидкості на ординату. З огляду на це система головних виразів набуде вигляду:
- x (t) = X0 + V x (t);
- y (t) = 0 + 0.
Фактично вийшов окремий випадок загального вигляду розв’язання основної задачі механіки. Оскільки друге рівняння ніякої інформації не дає (тотожний нуль), то його можна прибрати.
Звідси випливає, що РПР раціонально описувати, направляючи координатну вісь уздовж вектора швидкості і вибирати початкове положення точки на координатної прямої.
Тоді виходить спрощений варіант головної формули:
x (t) = x0 + Vx + t
При цьому напрямок вектора швидкості значення не має. По ньому він може як збігатися з віссю, так і бути їй протилежним.
У першому випадку тіло рухається уздовж координатної прямої, а в другому в протилежному напрямку.
Розв’язання задач
Фізика – це наука, яка дозволяє не тільки знати будь-які закони і визначення, але і вчить використовувати їх на практиці. Самостійне рішення прикладів дозволяє закріпити наявні знання. Існують типові завдання, за допомогою яких можна опрацювати вивчений матеріал. Ось деякі з них:
Задача 1
Визначити, які з наведених формул описують прямолінійний рівномірний рух і які з них не можуть бути застосовні до переміщення:
- S = 5 — 2t;
- V = 5 — 2t.
Для того щоб можна було дати відповідь потрібно згадати формули, що описують РПР: x = x0 + Vx * t і Sx = Vx * t. Якщо розглянути другий вираз, то можна стверджувати, що
- x0 = 5,
- Vx = -2.
Звідси випливає, що він повністю відповідає умові для РПР. У першому ж виразі знаходиться модуль вектора переміщення. Якщо t = 0 (в початковий момент часу), то S = 5. Такого бути не може, значить, формула не має сенсу.
Задача 2
При русі вздовж осі ікс координата точки за перші п’ять секунд змінилася від десяти метрів до мінус десять. Знайти модуль швидкості і проєкцію. Для вирішення за основу береться головна формула прямолінійного рівномірного руху:
(x — t) — x0 = Vx * t
Звідси
Vx = (x (t) — x0)/t
Стосовно до вихідних даних вона буде мати вигляд:
Vx = (x1 – x0)/t = (-10м – 10м)/5 с = -4 м/с
Оскільки тіло рухається уздовж прямої ікс, то модуль швидкості буде дорівнювати мінус проєкції. Значить |V| = 4 м/с. Закон же, що описує рух, буде наступним:
x (t) = 10 — 4 * t
Задача 3
Собака біжить за велосипедистом по прямолінійній ділянці шосе. Рух людини описується рівнянням x1 = 25 + 10 * t, а тварини x2 = -35 + 12 * t. Треба дізнатися, чи наздожене собака велосипедиста.
Можна припустити, що чотириногий друг наздожене велосипедиста. Щоб це підтвердити потрібно, визначити, коли настане цей момент. Отже, для того щоб собака наздогнала велосипедиста вона повинна спочатку бути позаду нього і бігти з більшою швидкістю.
Оскільки в початковий момент координата людини дорівнює 25, а тварини -35, то собака ззаду, при цьому 12T > 10T. Умови виконуються, а значить припущення вірне. Зустріч же їх повинна відбутися в один і той же момент часу Тзуст. Значить, 25 + 10 * Тзуст = -35 + 12 * Тзуст → 60 = 2 * Тзуст → Тзуст = 30 секунд.
Висновок
Крім цього, можна використовувати і графічний опис, тобто зображати графік руху тіла на координатній площині. Для цього в формулу підставляють значення і будують за результатами.
