У фізиці є напрямок, що вивчає переміщення тіл відносно різних координат. Називається він кінематикою. Один з розділів цього напрямку – криволінійне переміщення, окремим випадком якого є рівномірний рух по колу.
Описується це поняття різними параметрами, найважливіший з яких – це швидкість. Знаходження частоти, прискорення, періоду обертання досить активно використовується в авіабудуванні, механіці та інших виробничих галузях.
Загальні поняття
Кінематика, що входить до складу механіки, займається вивченням закономірностей руху. Під цим поняттям розуміється зміна положення тіла щодо інших об’єктів.
Будь-який рух вважається відносним. Тому для його опису використовують систему координат з початковою і кінцевою точкою відліку.
Для полегшення розуміння процесів розмірами досліджуваного тіла нехтують. Вважаючи, що будь-який об’єкт являє собою сукупність матеріальних точок, що повторюють однаковий рух при порівнянні з один одним.
Існує кілька видів зміни положення. Розрізняють їх по траєкторії – уявній лінії, що повторює шлях проходження об’єкта. Порівнюючи види руху, виділяють два типи переміщення:
- прямолінійне;
- криволінійне.
Крім цього, якщо розглядати зміну положення в часі, рух можна розрізняти по рівномірності:
- при переміщенні з постійною швидкістю рух називають рівномірним;
- при зміні її — нерівномірним.
Класифікація розділяє рух за характером на наступні види:
- рівноприскорений – це переміщення, щообумовлене рухом тіла, при якому прискорення буде постійним у напрямку;
- рівносповільнений – рух — при якому відбувається негативне прискорення, до повного уповільнення об’єкта;
- рівнозмінний – при такому русі швидкість змінюється на однакове значення в будь-якому проміжку часу;
- поступальний – якщо на переміщуване тіло нанести лінії, вони будуть переміщатися паралельно самі собі;
- обертальний – це періодичний рух, при якому матеріальна точка описує коло.
Окремим випадком криволінійного руху, тобто по траєкторії, відмінною від прямої лінії, є рівномірний рух по колу. Визначення поняття має доцентрове прискорення і постійну по модулю швидкість.
Характеристики руху
Переміщення по колу характеризується постійною по модулю швидкістю |V|= const. При цьому швидкість точки може змінюватися у напрямку. Таку її поведінку називають лінійною. Рівномірна зміна положення по колу є переміщенням з певним прискоренням. Воно завжди має напрямок до центру і вважається нормальним або доцентровим. Для позначення параметра використовується символ an по вектору.
При розрахунку доцентрового прискорення по модулю використовується формула:
an = v²/R,
де:
- V – лінійна швидкість;
- R – радіус, по якому обертається тіло.
За допомогою неї можна дізнатися швидкість зміни повороту при обертанні. Тобто визначити кут φ. Кутова швидкість – це скалярна величина, для знаходження якої використовують наступну формулу:
ω = Δφ/Δt
В якості одиниці виміру використовують радіан, поділений на секунду (рад/с).
При використанні радіусних характеристик кут повороту до часу обернено пропорційний періоду обертання T і прямо пропорційний два Пі: ω = 2P / T = 2pv. При цьому враховується і те, що кутова пов’язана з лінійною швидкістю рівністю: V = ω * R. З огляду на це, модуль доцентрового прискорення можна обчислити за формулою:
an = ω²* R
Вираз же, що описує переміщення при прямолінійній рівноприскореній зміні, виглядає як Δs = V0 * Δt +(a * Δ t)/2. Таким чином, при обертанні переміщення визначається кутом повороту. Для поступального ж руху пройдена відстань дорівнює: Δ s = (V2 — V0)/2a, а кутове прискорення знаходиться з виразу: Δφ = (ω2 — ω0)/2a.
За напрямок лінійної швидкості приймається шлях по дотичній до кола. Наприклад, при різанні металу кутовою шліфувальною машинкою іскри, що злітають з диска, позначають напрямок швидкості.
Період визначає шлях, який проходить тіло за певний час. При цьому пройдена відстань дорівнює довжині кола. Слід зазначити, що при розгляді швидкості, що змінюється за величиною при нерівномірному обертанні, використовують два види прискорення:
- дотичне;
- тангенціальне.
Знаходження прискорення тіла
Будь-який криволінійний рух відбувається з прискоренням, оскільки в його ході змінюється напрямок вектора швидкості. Щоб його знайти треба визначити напрямок вектора і обчислити його модуль.
Окружність є найпростішим видом криволінійного руху. Стародавні греки вважали, що ідеальна лінія – це коло. Можна уявити, що тіло рухається по колу з центром, який знаходиться в точці O. Об’єкт переміщається рівномірно, і в якийсь момент його швидкість стане V0. Вектор характеристики буде спрямований по дотичній і збігатися з напрямком руху.
Через деякий час тіло переміститься. Модуль цієї швидкості співпаде з початковою. Тому справедливо буде записати: V0 ≠ V. Для знаходження прискорення слід вирішити два питання:
- Визначити напрямок вектора.
- Знайти модуль вектора прискорення.
Для відповіді на перше питання потрібно розглянути вихідну формулу:
a = ΔV/Δt
Тобто знайти, як зміниться швидкість за невеликий проміжок часу до тривалості цього проміжку. З формули зрозуміло, що, куди спрямований вектор ΔV, в ту ж сторону направлено і прискорення. Слід побудувати вектор зміни швидкості частинки, що рухається рівномірно по колу. Для цього вектор V0 необхідно перенести паралельно самому собі в точку V.
За правилом трикутника можна побудувати вектор: ΔV = V — V0. Він буде спрямований знизу вгору, утворюючи катет прямокутного трикутника. Вектор V0 спрямований по дотичній до кола, який перпендикулярний радіусу r. Аналогічне міркування можна привести для вектора V0. Кут, утворений цими відрізками в вершині O, дуже малий і збігається з кутом, утвореним векторами V, Vo, ΔV.
Вектор ΔV перпендикулярний вектору V, значить і вектор прискорення перпендикулярний вектору швидкості. Можна стверджувати, що вектор прискорення спрямований до центру. Звідси випливає, що A спрямований до центру кола. Тому його і називають доцентровим прискорення.
Для знаходження модуля вектора використовується залежність:
a = ΔV/Δt
Якщо відома швидкість, з якою рухається точка, то для знаходження її шляху потрібно її помножити на час (Δt). Таким чином, можна записати:
ΔV/V = (V * Δt)/r
Цей вираз легко спростити, помноживши ліву і праву частину на Δt. У підсумку вийде рівняння:
V/Δt = V2/R
У лівій частині залишиться модуль доцентрового прискорення. Звідси можна стверджувати, що
a = v2/r
Розв’язання задачі
У повсякденному житті доводиться постійно зустрічатися з рухом по колу в динаміці. Взяти хоча б оборот землі навколо своєї осі. Крім цього, можна навести ще сотню прикладів:
- обертання коліс рушійного автомобіля;
- круговий оборот електронів навколо атома;
- переміщення стрілок годинника.
На уроках фізики для закріплення матеріалу часто пропонуються до самостійного вирішення кілька видів типових завдань. Ось деякі з них:
Задача 1. Потрібно визначити доцентрове прискорення крайніх точок предмета діаметром 40 см, якщо відомо, що його кутова швидкість дорівнює 180 рад/м. Задані значення необхідно привести відповідно до міжнародної системи вимірювань (Сі).
Замість 40 см потрібно взяти 0,4 метра, а 180 рад/м — три радіана, поділені на хвилину. Для вирішення використовується визначення, що прискорення дорівнює квадрату швидкості, поділеному на радіус.
Так як за умовою дану швидкість кута повороту, а не лінійну, слід виразити останню з виразу: v = w * R. Таким чином, доцентрове прискорення для розглянутого випадку буде дорівнює: a = (w * R)²/ R = w2 * R = (w 2 * D) / 2 = (32 * 0.4) / 2 = 1,8 м/с².
Задача 2. Нехай спідометр байка показує 90 км/год, а тахометр — 2400 оборотів в хвилину. Необхідно визначити радіус колеса. Спочатку слід перевести дані в систему СІ. З огляду на те, що в кілометрі тисяча метрів, в хвилині шістдесят секунд, а в годині 3600 секунд ,виходить лінійна швидкість колеса, рівна 25 метрам в секунду, і частота обороту осі 40 об/с.
Тут потрібно зауважити, що швидкість обертання колеса повинна дорівнювати кутовій швидкості обертання осі: wк= w0, оскільки вони скріплені. Цей параметр легко може бути знайдений з рівності: w0 = 2PV0. Радіус же знаходиться з відношення лінійної швидкості, поділеної на кутову швидкість. Тепер залишиться підставити вихідні дані і обчислити відповідь: R = V к/ w к = v к / 2 PV = 25 / 2 PV 0 = 25 / 2 p * 40 = 0,625 = 62,5.
Для того щоб їх успішно вирішувати, потрібно знати формулу кутового прискорення, тобто кута повороту. А також знати, що період обертання тіла, що рухається рівномірно по колу, визначають як час одного повного обороту. Зворотна йому величина називається частотою. Знаходиться вона як число оборотів в одиницю часу.
