Залежність між швидкістю рідини, що знаходиться в незмінному стані, і тиском визначається рівнянням Бернуллі. Цей закон знайшов широке застосування в гідродинаміці: при розрахунках трубопроводів і вимірах витрати рідин.
Практично всі нормальні дросельні витратоміри виготовляються на основі досліджень, виконаних швейцарським фізиком і математиком.
Дослідження вченого
Даніель Бернуллі народився в Голландії в 1700 році. У 1725 році він почав працювати на кафедрі фізіології, де захопився основами теоретичної фізики. Через 25 років він очолив кафедру експериментальної фізики, якою і керував до кінця своїх днів. Основною його працею вважається створення теорії гідродинамічної залежності, відомої як Закон Бернуллі.
Причиною відкриття принципу стало вивчення дії закону збереження енергії в різних ситуаціях. Бернуллі встановив, що тиск рідини в замкнутому просторі залежить від перерізу об’єкта, в якому вона знаходиться. Чим менше переріз труби, тим нижче буде утворений тиск в рідкій речовині, що пропускається через неї.
Цей факт був доведений експериментально і описаний математично.
Правило в математичному формулюванні має вигляд
(pv²/2) + p * g * h + ρ = const
де:
- p – кількість рідини на одиницю об’єму;
- v – швидкість руху потоку;
- h – рівень, на який піднято елемент рідини;
- ρ – сила, що діє на одиницю площі;
- g – прискорення, що надається рідини під дією тяжіння Землі.
Щоб зрозуміти фізичний сенс рівняння Бернуллі, потрібно розглянути трубу змінного перерізу, в якій існує точка А і Б. Перша розташовується в широкій частині, а друга — у вузькій. Відповідно до рівняння безперервності швидкість V1 в частині труби, що має більший переріз, буде менше, ніж швидкість рідини V2 у вузькому перерізі. Якщо в рідину помістити прилад для вимірювання тиску, він покаже якесь значення P1 в точці A і P2 в точці Б. При цьому там, де швидкість руху рідини повільніше, тиск буде більше.
Пояснюється це наступним чином: якщо V1 більше V2, значить, при русі відбувається зміна швидкості течії. Уявивши, що в рідині знаходиться точка, можна стверджувати про її рух з прискоренням. Це означає, що на неї діють сили.
Одна з них збігається з напрямком течії, тим самим прискорюючи рух. Обумовлена ця сила різницею тиску.
Оскільки рух походить від точки А до Б, то і тиск біля точки А буде більше, ніж близько Б. Ця різниця тисків і призводить до прискорення.
Умови дії закону
Закон застосуємо для умови, при якій дотримується нерозривність струменя повітря або рідини. У тих ділянках потоку, де швидкість течії більше, тиск буде менше і навпаки. Це твердження і називається теоремою Бернуллі.
Нехай є труба змінного перерізу зі змінною висотою. Внизу вона широка, а потім звужується. По ній тече рідина. Площа перетину можна позначити як S1 і S2, а тиск ділянок і швидкість руху на них P1, P2, V1, V2. Висота внизу буде дорівнювати S1, а вгорі S2.
Виділивши ділянку в трубі з рідиною, можна сказати, що вона рухається зліва направо і через деякий час повністю зрушиться в область S2. Зміна положення зліва дорівнюватиме відстані дельта L1, а праворуч — дельта L2.
Течія є:
- ламінарною – рідина, що знаходиться в трубці, перемішується шарами без хаотичних змін тиску і швидкості, турбулентність відсутня;
- стаціонарною – розподіл швидкостей не змінюється з плином часу;
- швидкісною – в русі бере участь такий параметр, як прискорення;
- ідеальною з нестисливою рідиною.
Останнє означає, що немає в’язкості. Тому на рідину діє тільки сила пружності і тяжкості, а сили тертя немає. Система не є замкнутою, а значить закон збереження енергії стосовно даної ділянки використовувати не можна. Зате цілком можна застосувати теорему про кінетичну енергію.
Але стосовно аеродинаміки враховується і те, що зміна тиску повітря набагато менше атмосферного. Тому рівняння можна застосовувати в аеродинамічних розрахунках.
Згідно з ним, сума діючих всіх сил на тіло (розглянутий шматок рідини) дорівнює зміні кінетичної енергії об’єкта:
ΣAi = ΔEk.
На нижню ділянку діє сила тиску, що виконує позитивну роботу, а на верхню — негативну. Крім цього, діє і сила тяжіння. Оскільки рідина підіймається, вона теж має негативний знак. Сила бічного тиску перпендикулярна будь-якій точці в системі, тому ніякого впливу вона не робить.
Кількісна сторона
Виходячи з сил, що діють на тіло, зміну кінетичної енергії можна описати виразом:
ΔEk = Ap1 + Ap2 + Ag
Щоб знайти роботу, необхідно силу помножити на пройдену відстань. Тому робота сили тиску дорівнює добутку самої сили F на модуль переміщення ΔL і косинусу кута між ними:
Ap1 = F1* ΔL *1
Щоб знайти силу, потрібно тиск помножити на площу. Значить:
Ap1 = p 1 * S1 * ΔL1 = p1V1
Таким же чином знаходиться робота для другого стану:
Ap2 = F1 * ΔL2 * (-1) = – p2 * S2 * ΔL2 = -p2 * V2
Рідина нестислива, отже:
V1=V2=V
Роботу сили тяжіння можна обчислити виходячи з того, що розглянутий шматок рідини є відносним, тобто він, хоча і не статичний, в будь-якому місці буде піддаватися впливу однакової сили тяжіння.
Вірним буде вираз:
Ag = – ΔEp = – (m2 * g * h2 — m1 * g * h1) = M1 * g * h1 — m2 * g * h2
Оскільки рідина нестислива, її щільність не зміниться. Звідси можна стверджувати:
Ag = ρ * V * g * h1 — ρ * V * g * h2
Знаючи кількісні показники всіх трьох робіт, можна знайти зміна кінетичної енергії. З фізики відомо, що воно дорівнює різниці кінцевої і початкової енергії. Потік стаціонарний, значить, швидкість з плином часу не зміниться. Отже, кінетична енергія буде визначатися різницею енергії, що з’явилася у верхній частині і енергії, що пішла з нижньої області:
ΔEk = (m2 * v2²)/2 — (m1 * v1²)/2
Скориставшись тим, що маса дорівнює добутку щільності на об’єм, формулу можна привести до виду:
ΔEk = (ρ * V * v22)/2 — (ρ * V * v12) / 2
Тепер знайдені вирази для робіт потрібно підставити в теорему про кінетичну енергію. Вийде наступна рівність:
p1V — p2V + ρ * V * g * h1 — ρ * V * g * h2 = (ρ * V * v2²) / 2 — (ρ * V * v1²)/2
Розділивши ліву і праву частину на об’єм, вираз можна спростити до виду:
p1-p2 + ρ * g * h1 — ρ * g * h2 = (ρ * v2²)/2 — (ρ * v1²) /2
Те місце, де тиск p1, якась точка всередині трубки, нехай буде позначено цифрою один, а там, де p2, — цифрою два. Все що, належить до одиниці, можна записати в лівій частині, а до двійки — в правій:
ρ1 * g * h1 + (ρ * v1²) / 2 = ρ * g * h2 + (ρ * v2²)/2
Отримана формула показує, що при переході в межі однієї лінії швидкість, тиск і висота змінюються. Тому в будь-якій точці буде справедливим вираз:
ρ1+ ρ * g * h + (ρ * v1)/2 = const
Це і є кількісний опис рівняння Бернуллі для ідеальної рідини.
Застосування в гідравліці
Найбільш типовим прикладом використання рівняння є рішення завдань по знаходженню швидкості витікання рідини з отвору в широкій посудині. Такою ємністю називають систему, в якій діаметр судини значно більше розміру отвору.
Необхідно знайти швидкість витікаючої рідини U1. Відомо, що висота стовпа рідини, на який діє сила тяжіння g, дорівнює h.
Нехай в рідині, що знаходиться зверху, є точка один. Через деякий час вона опиниться внизу в положенні два. На верх рідини тисне атмосферний тиск, тому p1 = ратм. Висота в точці один дорівнює h. Швидкість U1 вважають рівною нулю. Тиск p2 в точці два буде також дорівнює атмосферному. Оскільки рідина опуститься на дно, то висота h2 стане нульовою.
Всі ці величини слід підставити в рівняння Бернуллі. Вийде вираз:
ратм + ρ * g * h + 0 = ратм + (ρ * U²) / 2 + 0
Атмосферний тиск взаємно знищується:
ρ * g * h = (ρ * U²) / 2
У лівій і правій частині стоїть густина, на яку можна скоротити. Звідси виходить, що вид рідини значення не має. Це може бути:
- вода;
- ртуть;
- розплавлений метал.
Ефект від цього не зміниться. З формули можна виразити шукане U2. Воно дорівнюватиме:
U2 = (2 * g * h)½
Цікавим фактом є те, що отримана відповідь при вирішенні завдання називається формулою Торрічеллі. Вона показує, що швидкість, з якою витікає рідина з широкої судини, дорівнює швидкості тіла при вільному падінні з тієї ж висоти.
У цьому випадку закон Бернуллі є узагальненням для формули гідростатичного тиску. Нехай є посудина з рідиною висотою H. Точка, що знаходиться нагорі, характеризується тиском p1 = ратм., висотою h1 рівною h і швидкістю U1. Для точки на дні параметри будуть наступні:
p2 = p, h2 = 0, U2 = 0
Швидкості приймаються рівними нульовому значенню, оскільки розглянута рідина знаходиться в стані спокою.
Дані слід підставити в рівняння. У підсумку вийде рівність:
ратм + ρ * g * h + 0 = p + 0 + 0
З нього нескладно знайти невідоме:
p = ратм + ρ * g * h
Отримана відповідь є формулою гідростатичного тиску і підтверджує закон Паскаля.
Аналогічно рівняння Бернуллі для потоку реальної рідини використовується при розрахунку витрати в:
- карбюраторі;
- пульверизаторі;
- обліку статичного і динамічного тиску.
Піднімальна сила
Літак літає завдяки тому, що натиск повітря, який “набігає” на крило створює підйомну силу. Її можна розрахувати і оцінити за допомогою рівняння. Геометрично крило можна представити у вигляді площини з кутом a (кут атаки). На нього діє потік повітря зі швидкістю U. Частка повітря вдаряє в тверду поверхню і відбивається від неї. Кут відбиття дорівнює куту атаки, а її швидкість дорівнює U’. Потрібно розрахувати підйомну силу. Для цього необхідно виконати три кроки:
- розглянути зміну швидкості повітря;
- дізнатися імпульс частинок;
- використовуючи закон Ньютона, визначити силу.
В результаті вийде, що на крило діє сила, що складається з двох компонентів: підйомної сили Fy і аеродинамічного опору
Fx. Fy = Cy * p * U2 * S; а Fx = Cx * p * U2 * S.
У формулах С є коефіцієнтом, а S — площею крила
Для розрахунку використовується рівняння Бернуллі. Виглядати воно буде наступним чином:
Рп.к + (ρ * Uп.к) * 2/2 + ρ * g * һп.к = Рн.к + (ρ * Uн.к) * 2 / 2 + ρ * g * һн. к,
де:
- п.к — під крилом;
- н. к — над крилом;
Це рівняння можна спростити, прийнявши, що тиску над і під крилом приблизно однакові, тому густина буде також однакова. Крім того, висота крила досить маленька. Виходячи з цього, формулу можна спростити, і вона набуде вигляду:
рп.к-рн.к = (ρ * (Uн.к + Uп.к) * (Uн.к-Uп. к))/2 = 2 * U1 * U2.
Тепер можна знайти підйомну силу. Для цього різницю тисків потрібно помножити на площу крила:
Fy = (рп.к – рн. к) * S.
Таким чином, використовуючи даний метод, можна розрахувати підйомну силу, обумовлену ефектом Бернуллі. Наприклад, нехай дано, що площа крила дорівнює 50 м². Швидкість потоку повітря над крилом і під ним відповідно рівні: U1 = 320 м/с, U2 = 290 м/с. Треба знайти вантажопідйомність. Для вирішення завдання потрібно знати диференціальну густину повітря. Це довідкова величина, рівна 1,29 кг/м³.
Використовуючи рівняння Бернуллі, можна записати:
рп.к-рн.к = ρ *(U2н.к — U2п.к).
Підйомна сила дорівнює площі крила, помноженої на різницю тиску. Підставивши один вираз в інший, отримаємо робочу формулу:
Fy = ρ * (U2н.к — U2п.к) * S/2.
Після виконання розрахунку вийде відповідь 590 кН. Тобто вантажопідйомність літака складе близько 59 тонн.
