Закон Бернуллі - малюнок

Рівняння Бернуллі — формули, фізичний зміст, приклади



Залежність між швидкістю рідини, що знаходиться в незмінному стані, і тиском визначається рівнянням Бернуллі. Цей закон знайшов широке застосування в гідродинаміці: при розрахунках трубопроводів і вимірах витрати рідин.

Практично всі нормальні дросельні витратоміри виготовляються на основі досліджень, виконаних швейцарським фізиком і математиком.

Даніель Бернуллі - портрет

Дослідження вченого

Даніель Бернуллі народився в Голландії в 1700 році. У 1725 році він почав працювати на кафедрі фізіології, де захопився основами теоретичної фізики. Через 25 років він очолив кафедру експериментальної фізики, якою і керував до кінця своїх днів. Основною його працею вважається створення теорії гідродинамічної залежності, відомої як Закон Бернуллі.

Відкриття вченого передбачило зародження молекулярно-кінетичного вчення поведінки газів.

Причиною відкриття принципу стало вивчення дії закону збереження енергії в різних ситуаціях. Бернуллі встановив, що тиск рідини в замкнутому просторі залежить від перерізу об’єкта, в якому вона знаходиться. Чим менше переріз  труби, тим нижче буде утворений тиск в рідкій речовині, що пропускається через неї.

Цей факт був доведений експериментально і описаний математично.

Правило в математичному формулюванні має вигляд

(pv²/2) + p * g * h + ρ = const

де:

  • p – кількість рідини на одиницю об’єму;
  • v – швидкість руху потоку;
  • h – рівень, на який піднято елемент рідини;
  • ρ – сила, що діє на одиницю площі;
  • g – прискорення, що надається рідини під дією тяжіння Землі.

Щоб зрозуміти фізичний сенс рівняння Бернуллі, потрібно розглянути трубу змінного перерізу, в якій існує точка А і Б. Перша розташовується в широкій частині, а друга — у вузькій. Відповідно до рівняння безперервності швидкість V1 в частині труби, що має більший переріз, буде менше, ніж швидкість рідини V2 у вузькому перерізі. Якщо в рідину помістити прилад для вимірювання тиску, він покаже якесь значення P1 в точці A і P2 в точці Б. При цьому там, де швидкість руху рідини повільніше, тиск буде більше.

Пояснюється це наступним чином: якщо V1 більше V2, значить, при русі відбувається зміна швидкості течії. Уявивши, що в рідині знаходиться точка, можна стверджувати про її рух з прискоренням. Це означає, що на неї діють сили.

Одна з них збігається з напрямком течії, тим самим прискорюючи рух. Обумовлена ця сила різницею тиску.

Оскільки рух походить від точки А до Б, то і тиск біля точки А буде більше, ніж близько Б. Ця різниця тисків і призводить до прискорення.

Закон Бернуллі

Умови дії закону

Закон застосуємо для умови, при якій дотримується нерозривність струменя повітря або рідини. У тих ділянках потоку, де швидкість течії більше, тиск буде менше і навпаки. Це твердження і називається теоремою Бернуллі.

По суті, закон дозволяє встановити зв’язок між тиском, швидкістю, висотою.

Нехай є труба змінного перерізу зі змінною висотою. Внизу вона широка, а потім звужується. По ній тече рідина. Площа перетину можна позначити як S1 і S2, а тиск ділянок і швидкість руху на них P1, P2, V1, V2. Висота внизу буде дорівнювати S1, а вгорі S2.

Виділивши ділянку в трубі з рідиною, можна сказати, що вона рухається зліва направо і через деякий час повністю зрушиться в область S2. Зміна положення зліва дорівнюватиме відстані дельта L1, а праворуч — дельта L2.

Течія є:

  • ламінарною – рідина, що знаходиться в трубці, перемішується шарами без хаотичних змін тиску і швидкості, турбулентність відсутня;
  • стаціонарною – розподіл швидкостей не змінюється з плином часу;
  • швидкісною – в русі бере участь такий параметр, як прискорення;
  • ідеальною з нестисливою рідиною.

Останнє означає, що немає в’язкості. Тому на рідину діє тільки сила пружності і тяжкості, а сили тертя немає. Система не є замкнутою, а значить закон збереження енергії стосовно даної ділянки використовувати не можна. Зате цілком можна застосувати теорему про кінетичну енергію.

Для газів рівняння можна використовувати лише в тому випадку, якщо їх щільність змінюється незначно.

Але стосовно аеродинаміки враховується і те, що зміна тиску повітря набагато менше атмосферного. Тому рівняння можна застосовувати в аеродинамічних розрахунках.

Згідно з ним, сума діючих всіх сил на тіло (розглянутий шматок рідини) дорівнює зміні кінетичної енергії об’єкта:

ΣAi = ΔEk.

На нижню ділянку діє сила тиску, що виконує позитивну роботу, а на верхню — негативну. Крім цього, діє і сила тяжіння. Оскільки рідина підіймається, вона теж має негативний знак. Сила бічного тиску перпендикулярна будь-якій точці в системі, тому ніякого впливу вона не робить.

Демонстрація ефекту Бернуллі

Кількісна сторона

Виходячи з сил, що діють на тіло, зміну кінетичної енергії можна описати виразом:

ΔEk = Ap1 + Ap2 + Ag

Щоб знайти роботу, необхідно силу помножити на пройдену відстань. Тому робота сили тиску дорівнює добутку самої сили F на модуль переміщення ΔL і косинусу кута між ними:

Ap1 = F1* ΔL *1

Щоб знайти силу, потрібно тиск помножити на площу. Значить:

Ap1 = p 1 * S1 * ΔL1 = p1V1

Таким же чином знаходиться робота для другого стану:

Ap2 = F1 * ΔL2 * (-1) = – p2 * S2 * ΔL2 = -p2 * V2

Рідина нестислива, отже:

V1=V2=V

Роботу сили тяжіння можна обчислити виходячи з того, що розглянутий шматок рідини є відносним, тобто він, хоча і не статичний, в будь-якому місці буде піддаватися впливу однакової сили тяжіння.

Вірним буде вираз:

Ag = – ΔEp = – (m2 * g * h2 — m1 * g * h1) = M1 * g * h1 — m2 * g * h2

Оскільки рідина нестислива, її щільність не зміниться. Звідси можна стверджувати:

Ag = ρ * V * g * h1 — ρ * V * g * h2

Знаючи кількісні показники всіх трьох робіт, можна знайти зміна кінетичної енергії. З фізики відомо, що воно дорівнює різниці кінцевої і початкової енергії. Потік стаціонарний, значить, швидкість з плином часу не зміниться. Отже, кінетична енергія буде визначатися різницею енергії, що з’явилася у верхній частині і енергії, що пішла з нижньої області:

ΔEk = (m2 * v2²)/2 — (m1 * v1²)/2

Скориставшись тим, що маса дорівнює добутку щільності на об’єм, формулу можна привести до виду:

ΔEk = (ρ * V * v22)/2 — (ρ * V * v12) / 2

Тепер знайдені вирази для робіт потрібно підставити в теорему про кінетичну енергію. Вийде наступна рівність:

p1V — p2V + ρ * V * g * h1 — ρ * V * g * h2 = (ρ * V * v2²) / 2 — (ρ * V * v1²)/2

Розділивши ліву і праву частину на об’єм, вираз можна спростити до виду:

p1-p2 + ρ * g * h1 — ρ * g * h2 = (ρ * v2²)/2 — (ρ * v1²) /2

Те місце, де тиск p1, якась точка всередині трубки, нехай буде позначено цифрою один, а там, де p2, — цифрою два. Все що, належить до одиниці, можна записати в лівій частині, а до двійки — в правій:

ρ1 * g * h1 + (ρ * v1²) / 2 = ρ * g * h2 + (ρ * v2²)/2

Отримана формула показує, що при переході в межі однієї лінії швидкість, тиск і висота змінюються. Тому в будь-якій точці буде справедливим вираз:

ρ1+ ρ * g * h + (ρ * v1)/2 = const

Це і є кількісний опис рівняння Бернуллі для ідеальної рідини.

Висновок із закону Бернуллі

Застосування в гідравліці

Найбільш типовим прикладом використання рівняння є рішення завдань по знаходженню швидкості витікання рідини з отвору в широкій посудині. Такою ємністю називають систему, в якій діаметр судини значно більше розміру отвору.

Необхідно знайти швидкість витікаючої рідини U1. Відомо, що висота стовпа рідини, на який діє сила тяжіння g, дорівнює h.

Нехай в рідині, що знаходиться зверху, є точка один. Через деякий час вона опиниться внизу в положенні два. На верх рідини тисне атмосферний тиск, тому p1 = ратм. Висота в точці один дорівнює h. Швидкість U1 вважають рівною нулю. Тиск p2 в точці два буде також дорівнює атмосферному. Оскільки рідина опуститься на дно, то висота h2 стане нульовою.

Всі ці величини слід підставити в рівняння Бернуллі. Вийде вираз:

ратм + ρ * g * h + 0 = ратм + (ρ * U²) / 2 + 0

Атмосферний тиск взаємно знищується:

ρ * g * h = (ρ * U²) / 2

У лівій і правій частині стоїть густина, на яку можна скоротити. Звідси виходить, що вид рідини значення не має. Це може бути:

  • вода;
  • ртуть;
  • розплавлений метал.

Ефект від цього не зміниться. З формули можна виразити шукане U2. Воно дорівнюватиме:

U2 = (2 * g * h)½

Цікавим фактом є те, що отримана відповідь при вирішенні завдання називається формулою Торрічеллі. Вона показує, що швидкість, з якою витікає рідина з широкої судини, дорівнює швидкості тіла при вільному падінні з тієї ж висоти.

Використовуючи рівняння, можна легко розрахувати тиск рідини на дно і стінки судини.

У цьому випадку закон Бернуллі є узагальненням для формули гідростатичного тиску. Нехай є посудина з рідиною висотою H. Точка, що знаходиться нагорі, характеризується тиском p1 = ратм., висотою h1 рівною h і швидкістю U1. Для точки на дні параметри будуть наступні:

p2 = p, h2 = 0, U2 = 0

Швидкості приймаються рівними нульовому значенню, оскільки розглянута рідина знаходиться в стані спокою.

Дані слід підставити в рівняння. У підсумку вийде рівність:

ратм + ρ * g * h + 0 = p + 0 + 0

З нього нескладно знайти невідоме:

p = ратм + ρ * g * h

Отримана відповідь є формулою гідростатичного тиску і підтверджує закон Паскаля.

Аналогічно рівняння Бернуллі для потоку реальної рідини використовується при розрахунку витрати в:

  • карбюраторі;
  • пульверизаторі;
  • обліку статичного і динамічного тиску.

Рух твердих тіл і рідин в газах

Піднімальна сила

Літак літає завдяки тому, що натиск повітря, який “набігає” на крило створює підйомну силу. Її можна розрахувати і оцінити за допомогою рівняння. Геометрично крило можна представити у вигляді площини з кутом a (кут атаки). На нього діє потік повітря зі швидкістю U. Частка повітря вдаряє в тверду поверхню і відбивається від неї. Кут відбиття дорівнює куту атаки, а її швидкість дорівнює U’. Потрібно розрахувати підйомну силу. Для цього необхідно виконати три кроки:

  • розглянути зміну швидкості повітря;
  • дізнатися імпульс частинок;
  • використовуючи закон Ньютона, визначити силу.

В результаті вийде, що на крило діє сила, що складається з двох компонентів: підйомної сили Fy і аеродинамічного опору

Fx. Fy = Cy * p * U2 * S; а Fx = Cx * p * U2 * S.

У формулах С є коефіцієнтом, а S — площею крила

Підіймальна сила крила літака

Для розрахунку використовується рівняння Бернуллі. Виглядати воно буде наступним чином:

Рп.к + (ρ * Uп.к) * 2/2 + ρ * g * һп.к = Рн.к + (ρ * Uн.к) * 2 / 2 + ρ * g * һн. к,

де:

  • п.к — під крилом;
  • н. к — над крилом;

Це рівняння можна спростити, прийнявши, що тиску над і під крилом приблизно однакові, тому густина буде також однакова. Крім того, висота крила досить маленька. Виходячи з цього, формулу можна спростити, і вона набуде вигляду:

рп.к-рн.к = (ρ * (Uн.к + Uп.к) * (Uн.к-Uп. к))/2 = 2 * U1 * U2.

Тепер можна знайти підйомну силу. Для цього різницю тисків потрібно помножити на площу крила:

Fy = (рп.к – рн. к) * S.

Таким чином, використовуючи даний метод, можна розрахувати підйомну силу, обумовлену ефектом Бернуллі. Наприклад, нехай дано, що площа крила дорівнює 50 м². Швидкість потоку повітря над крилом і під ним відповідно рівні: U1 = 320 м/с, U2 = 290 м/с. Треба знайти вантажопідйомність. Для вирішення завдання потрібно знати диференціальну густину повітря. Це довідкова величина, рівна 1,29 кг/м³.

Використовуючи рівняння Бернуллі, можна записати:

рп.к-рн.к = ρ *(U2н.к — U2п.к).

Підйомна сила дорівнює площі крила, помноженої на різницю тиску. Підставивши один вираз в інший, отримаємо робочу формулу:

Fy = ρ * (U2н.к — U2п.к) * S/2.

Після виконання розрахунку вийде відповідь 590 кН. Тобто вантажопідйомність літака складе близько 59 тонн.

Реальні обчислення для таких завдань досить складні, тому часто використовують онлайн-калькулятори.

Leave a Reply

Ваша e-mail адреса не оприлюднюватиметься. Обов’язкові поля позначені *