Рівняння Максвелла - малюнок

Рівняння Максвелла — формули і фізичний сенс



Взаємодія між електричними зарядами, що володіють дипольним моментом, характеризується виникненням електромагнітного поля. Вивчає це явище електродинаміка. Фундаментальними правилами в цьому розділі фізики є рівняння Максвелла.

З їх допомогою можна визначити поля, враховуючи розподіл зарядів і струмів. Існує чотири закони, що свого часу зробили переворот в науковому світі.

Основна ідея

Якщо в замкнутому контурі змінюється магнітний потік, то по ньому тече електричний струм. В результаті виникає електрорушійна сила магнітної індукції. Відбувається це через зміну магнітного поля.

Припустимо, є магніт, у якого потік з плином часу збільшується. Якщо в поле помістити замкнутий провідник кільцевого типу, то за правилом Ленца в ньому виникне індукційний струм, протилежний магнітній силі через контур.

Струм – це спрямований рух заряджених частинок. Сила, що змушує їх переміщатися, називається електричним полем. З’являється вона при зміні магнітного потоку.

Звідси можна зробити висновок, що електричне поле існує завжди там, де є змінне магнітне поле, при цьому воно має замкнуту форму. Цей вид сили і називали вихровим полем. Коли вектор магнітної сили зростає, то збільшується і вихрове поле, а якщо убуває, то, відповідно, воно зменшується.

Джеймс Клерк Максвелл
Джеймс Клерк Максвелл

Джеймс Клерк Максвелл припустив, що якщо змінне магнітне поле породжує електричне, то цей процес може бути і зворотним. Його ідея полягала в тому, що якщо є провідник зі струмом, то навколо нього існує стаціонарне магнітне поле. На довжині цього провідника він вибрав довільні три точки рівновіддалені від нього на відстань r.

У цих точках поле буде однакове. Максвелл припустив, що якщо провідник розірвати, то для того, щоб струм продовжував рух, потрібно зберегти заряди. Тобто, фактично, використовувати конденсатор.

На думку Максвелла, тоді в точці розриву поле буде таке ж, як і навколо провідника. Між обкладинками виникне електрична сила, оскільки на них відбувається збереження (накопичення) зарядів. З огляду на це, фізик прийшов до висновку, що змінне електричне поле призводить до виникнення магнітного потоку.

Оскільки на обкладинках є заряд, то сила струму буде дорівнювати

I = dq/dt

Заряд можна пов’язати з напругою на обкладинках конденсатора і електроємністю:

q = C * U

Ємність же в вакуумі визначається як E0 * S/d, а напруга — як E * d.

Підставивши значення в формулу, Максвелл отримав вираз:

dq/dt = E₀ * S * dE/dt

Оскільки струм між обкладинками не тече, а перенесення відбувається полем, Максвклл запропонував ввести поняття струм зміщення. Густину цього струму можна знайти за формулою:

j = E₀ * dE/dt

Це дозволило спростити обчислення магнітної сили.

Струм зміщення і вихрове поле стали основою для створення системи рівнянь.

Рівняння Максвелла - визначення

Фізична суть

Електромагнітне поле являє собою матерію, за допомогою якої заряджені елементарні частинки взаємодіють між собою. У вакуумі явище характеризується напруженістю E і магнітною індукцією B.

Ці параметри визначають сили, що впливають на рухомі і нерухомі заряди. Крім них, значення електромагнітного поля визначається скалярним і векторним потенціалами і двома додатковими величинами: індукцією D і напруженістю магнітних ліній H.

Відкриття в 1831 році Фарадеєм закону електромагнітної індукції, що встановлює залежність між зарядом і намагніченістю у струмопровідних тілах, допомогло Максвеллу сформулювати ряд рівнянь, які після назвали його ім’ям. Головне його дослідження полягало в дослідженні струму зміщення, рівного по магнітній дії електричного струму.

Сформулювавши свою систему, фізик зміг зв’язати електричне і магнітне поле з зарядом і струмом.

Фізичний сенс рівнянь Максвелла полягає в тому, що електромагнітне поле розглядалося ним як самостійний об’єкт, в якому передача енергії відбувається коливанням від точки до точки з кінцевою швидкістю. При цьому в вакуумі вона визначається швидкістю світла.

З точки зору математики, для опису процесів вчений використовував векторний аналіз, виражений через інваріантну форму, що використовує кватерніони Гамільтона. Написані ним рівняння неохоче приймалися Вченою радою Лондонського королівського товариства. Це відбувалося через те, що вони не були схожі ні на одне з описів відомих раніше.

Проте система Максвелла отримала визнання і стала фундаментальною в області електродинаміки. При цьому її справедливість отримала підтвердження не тільки в мікросвіті, але і в області квантової фізики.

Основним наслідком відкриття стало поняття про швидкість поширення електромагнітних хвиль і створення теорії світла.

По суті, ця система теорії хвиль в науці про електромагнетизм грає роль порівнянну з законами Ньютона в області механіки або з теоремами в електродинаміці.

Рівняння Максвелла в вакуумі

Диференціальний запис

Відкриття в провідних тілах струму зміщення дозволило Максвеллу вивести чотири рівняння, на основі яких була створена теорія електромагнітних явищ. Зазвичай у фізиці математичний запис процесів не залежить від системи одиниць, але в термодинаміці це не так. Річ у тому, що при записі в різних системах змінюються коефіцієнти (постійні).

Наприклад, в системі одиниць, що використовується в описі квантової теорії поля, швидкість світла і електромагнітна константа дорівнює одиниці. Тому рівняння не матимуть жодної постійної. Для запису використовують дві системи: СГС — симетрична гауссова, і СІ — Міжнародна система одиниць.

У цих двох стандартах система рівнянь Максвелла може бути описана словесно і математично наступним чином:

  • Як джерело електричної індукції виступає заряджена частинка. У СГС: ∇ * D = 4* p * ρ; в СІ: ∇ * D = 4 * ρ.
  • В електромагнітному полі магнітних зарядів немає. В обох системах формула виглядає однакового: ∇ * B = 0.
  • При зміні величини магнітної індукції виникає електричне вихрове поле. У СГС: ∇ * E = – δ B/c * δ t; в СІ: ∇ * E = – δ B/δ t.
  • Вихрове магнітне поле з’являється через зміни електричної індукції і струму. У СГС: ∇ * H = 4 pj / c + δ D / c * δ t; в СІ: ∇ * H = j + δD/δt.

Ці класичні чотири закони описують природу і умови виникнення електромагнітного поля.

  • Перша гіпотеза пов’язує напруженість з індукцією і є виразом теореми електромагнітної індукції.
  • Друга доводить відсутність об’єктів, що генерують магнітне поле.
  • Третя встановлює залежність між струмом зміщення і провідністю, що створюється в магнітному полі.
  • Четверта пояснює, що джерелом вектора електричної індукції служить сторонній заряд.

Зазначені рівняння являють собою запис в диференціальній формі. При цьому кожне з них еквівалентно скалярним рівнянням.

У цій формі вони мають наступний вигляд:

  • (δEy / δx) — (δEx / δy) = – δBx / δt;
  • (δBx / δx) — (δEy / δy) + (δBz / δz) = 0;
  • (δHy / δx) — (δHx / δy) = jz + δDx / δt;
  • (δDx / δx) — (δDy / δy) + (δDz / δz) = ρ.

Для того щоб скористатися цими постулатами для розрахунку полів, потрібно рівняння доповнити граничними правилами, що об’єднують:

  • електричну індукцію (D);
  • густину електричного струму (j);
  • напруженість (E).

Ці положення мають вигляд: D = e0 * e*E; B = m0*m*H; j = δ * E.

Сукупність цих співвідношень дозволяє зробити висновок про основу електродинаміки середовищ, що знаходяться в спокійному стані.

Рівняння Максвелла в інтегральній формі

Інтегральна форма

Запис рівнянь Максвелла в інтегральній і диференціальній формі дозволяє розрахувати електромагнітне поле в будь-якому середовищі.

Перші два рівняння, що включають інтеграли, отримуються шляхом перетворення диференціальних форм по довільній поверхні і застосування теореми Стокса, що обмежує поверхню. Другі ж два шляхом інтегрування за довільним об’ємом з подальшим їх спрощенням за теоремою Остроградського-Гауса, по обмеженій поверхні в замкнутому об’ємі.

Виглядають вони наступним чином:

  • ∫D * ds = 4 pQ. Цей закон Гауса встановлює, що потік електричної індукції крізь обмежену поверхню залежить від величини вільного заряду, що існує в об’ємі і формується цією поверхнею.
  • ∫B * ds = 0. Теорема для магнітного поля повідомляє, що сила ліній магнітної індукції через обмежену поверхню дорівнює нулю.
  • ∫E * dl = – d/dt*c ∫ B * ds. Властивість Фарадея позначає, що потік магнітної індукції, проходячи через замкнуту поверхню пропорційний обертанню електричного поля в контурі, що обмежує поверхню.
  • ∫H * dl = 4pI/c + (d/dt) ∫ D * ds. Правило циркуляції магнітного поля. Електричний струм вільних частинок і коливання електромагнітної індукції залежать від розміру і руху магнітного потоку, обмеженого контуром L.

У цих рівняннях:

  • буквою S позначається замкнутий простір двомірної поверхні визначальної межі об’єму V або контуру L;
  • При цьому Q є електричним зарядом, що знаходяться в замкнутому об’ємі площею S і рівним: Q = ∫p * dV;
  • I — електричним струмом, що протікає крізь S і визначається з рівняння: I = ∫j * ds.

Потрібно відзначити, що вектор потоку по обмеженій поверхні вважається спрямованим з об’єму. Обертання ж знаходиться згідно з правилом правого гвинта по незамкненій площі. У рівняннях величини E, B, D і H є рівнозначними значеннями, що визначаються в результаті рішення системи.

Значення рівнянь Максвелла

Значення рівнянь

Система рівнянь Максвелла для електромагнітного поля пояснює всі електромагнітні явища. Її застосовують при повному аналізі полів при відомих розподілах струмів і заряджених частинок.

Часто рівняння називають матеріальними, підкреслюючи індивідуальні властивості середовища, що займає простір:

D = e * e0 * E, B = m * m0 * H, J = E

Формули підтверджують існування електромагнітних хвиль. Інакше кажучи, вони припускають можливість електричного поля випромінювати енергію незалежно від присутності електричних зарядів і струмів.

З усього різноманіття застосування рівнянь можна виділити основні чотири:

  • Знаходження характеристик електричного і магнітного поля по відомому розподілу заряджених частинок і струмів. Тобто цю теорію електромагнітного поля (ЕМП) можна застосовувати до будь-якої системи зарядів і струмів. Вона узагальнює електричні та магнітні явища.
  • Вивчення макроскопічних полів. Рівняння Максвелла застосовні до макрозарядів і макрострумів. Їх можна використовувати в середовищі, де відстані від джерела випромінювання до зафіксованої точки набагато перевищує періоди внутрішніх явищ.
  • Теореми Максвелла розкривають внутрішній механізм процесів в середовищі, описуваних трьома фундаментальними характеристиками: ε, μ і σ.
  • Використовуючи теорію, що є близькодійною, можна описати електричні та магнітні взаємодії, що виникають в електромагнітному полі і поширюються з обмеженою швидкістю.

Система включає в себе всі основні закони електричного і магнітного поля з урахуванням такого важливого параметра, як електромагнітна індукція.

Теоретичне дослідження фізика дозволило стверджувати, що світло являє собою електромагнітні хвилі і існування струмів зміщення в магнітному полі, тобто зміна ЕМП без руху електричних зарядів. Завдяки цьому стало можливим знаходити повний струм.

Максвеллом було знайдено чотири важливих закономірності, що полягають в тому, що:

  • електричний заряд утворює електричне поле;
  • коливання магнітних хвиль породжує електричні вихори;
  • магнітних зарядів бути не може;
  • зміна індукції призводить до появи вихрового магнітного потоку.

Ці теоретичні судження після були підтверджені експериментально і дозволили отримати картину поширення вільної енергії електромагнітної хвилі в просторі.

Leave a Reply

Ваша e-mail адреса не оприлюднюватиметься. Обов’язкові поля позначені *