Рівняння траєкторії тіла

Рівняння траєкторії тіла — визначення і формули



Вивченням руху тіла в просторі займається великий розділ фізики – кінематика. Причому причини, що змушують об’єкт рухатися, досліджує динаміка.

Шлях, який проходить фізична точка, називають траєкторією тіла. Рівняння, що описує цей процес, залежить від напрямку, заданого дією, що викликає зміну її положення. Форма ж переміщення визначається обраною системою координат і місцем початкового відліку.

Рух тіла під дією сили тяжіння

Загальні відомості

Під рухом тіла розуміють процес його переміщення з однієї точки простору в іншу. Дану дію досліджують щодо іншого об’єкта або обраних початкових координат. При цьому положення зовсім не обов’язково може змінюватися відразу до всіх оточуючих його тіл. Наприклад, людина, що стоїть на Землі, знаходиться в стані спокою щодо планети, але рухається відносно Сонця.

У фізиці прийнято будь-яку зміну визначати в системі просторових координат. За осі приймають перпендикулярні лінії x, y, z.

Сукупність даних, використовуваних для вивчення руху, називають системою відліку.

Існує кілька видів механічного переміщення (в часі) фізичної точки:

  • рівномірне і рівноприскорене прямолінійне переміщення;
  • переміщення по дузі;
  • гармонічні коливання.

При русі тіло проходить певний шлях. Описати його можна віртуальною лінією, при цьому вона може бути як прямою, так і кривою. Саме вона і називається траєкторією руху. По суті, ця лінія з’єднує послідовно всі положення точки в просторі – від початкової до кінцевої. Довжина відрізка є пройденим шляхом і вважається векторною величиною.

Зміна радіус-вектора r (значення, що задає положення точки в просторі щодо іншого тіла) описує кінематичний закон:

r = R (t)

У тривимірних декартових координатах його можна записати так:

r = xe + ye + ze = (x, y, z)

Вектор, побудований з початкової точки рухомого тіла в розташування її в цей момент часу, тобто збільшення радіус-вектора за певний проміжок t, як раз і називають переміщенням.

Результуючий рух же дорівнює векторній сумі послідовних змін положення. При прямолінійному переміщенні вектор шляху збігається з відповідною ділянкою траєкторії, а модуль перестановки дорівнює пройденій відстані.

Час, за який тіло пройде по встановленому траєкторією шляху, називають швидкістю. Фактично, – це швидкість зміни координати.

Фізики, досліджуючи переміщення, вивчають не тільки положення матеріальної точки в початковий і кінцевий момент часу, але і закон, за яким відбувається переміщення. Іншими словами, вони визначають залежність радіус-вектора від часу.

Рух тіла, кинутого вертикально

Горизонтальне переміщення

Нехай є тіло, кинуте горизонтально поверхні. Висота падіння дорівнює h, а початкова швидкість V0. Тут систему відліку зручно пов’язати з Землею. Об’єкт буде пересуватися під дією сили тяжіння. Іншими силами, наприклад, опором повітря, можна знехтувати. Тіло переміщається в площині, що містить вектора прискорення і вільного падіння (g).

Таким чином, система початкових умов буде виглядати так:

x (t = 0) = 0; y (t = 0) = 0; v0x = v0; v0y = 0.

Вектор прискорення постійний, тому a = g. Якщо тіло представити як сукупність матеріальних точок, що рухаються однаковим шляхом, то шлях можна визначити як суму переміщень по прямих. Рівняння швидкості набуде вигляду:

v (t) = v0 + gt

Про зміну положення можна сказати, що воно виконується з постійною швидкістю і прискоренням в горизонтальній площині, будучи рівномірним. Значить, проєкцію на осі ординати і абсциси можна записати як

vx = v0; vy = -gt

Швидкість переміщення розраховують за формулою:

V = √(V²x + V²y).

Після підстановки отриманих раніше виразів рівність набуде вигляду:

V = √(V²0 + g²t²)

Звідси випливає, що рівняння для вектора руху матеріальної точки буде:

s (t) = s0 + V0t + (gT²)/2

де:

  • s0 — зміщення тіла, відповідне початкового моменту часу.

Оскільки s0 = y (t = 0) = h0, то скалярні вирази для координат, що змінює положення частинки можна представити у вигляді системи:

x = V0t; y = h0 — (gt²/2)

Рівняння, що описують рух тіла, кинутого горизонтально

Переміщення відбувається по прямій як окремий рух у двох площинах, при цьому з формули випливає, що зміна положення буде відповідати правій половині спрямованої вниз параболи.

Враховуючи те, що час можна визначити з відношення ікса до початкової швидкості (t = x/V0), можна записати остаточну формулу для обчислення траєкторії руху тіла: y = H0 — (gx²) / (2²v0).

Можна зробити висновок, що рівняння траєкторії не записується через час, тому частка буде і переміщатися назад по тій же самій траєкторії. Тимчасові відрізки між точками шляху будуть однакові як при прямому, так і при зворотному русі.

Кожному положенню відповідає певне значення швидкості, яке не залежить від напрямку переміщення. Потрібно відзначити, що найбільшою величиною в горизонтальній траєкторії польоту буде початкова точка.

Рівняння, що описують рух тіла, що вільно падає

Рух тіла під кутом

Вільне падіння є окремим випадком рівноприскореного, тобто на переміщуваний об’єкт діє тільки сила тяжіння. Якщо фізична точка переміщається, то крива, яка описується її радіус-вектором, позначає пройдений шлях. Цю траєкторію можна описати деякою математичною функцією.

Отже, вектор швидкості точки визначається як похідна за часом:

V = dr/dt = r

Прискорення ж можна знайти, продиференціювавши швидкість:

a = dV/dt = d²r/dt

Якщо позначити похідну часу точкою, то формулу можна переписати так: a = V = r.

Для того щоб вивести формулу, потрібно скористатися основними формулами, що визначають проєкції:

  • прискорення: ax = 0, ay = -g, az = 0;
  • радіус-вектора: rx (t) = V0 * cosat, ry (t) = v * sin (at- (g * t²)/2)), rz (t) = 0;
  • швидкості: vx (t) = V0 * cosa, vy (t) = V0 * sin (a — gt), vz (t) = 0.

Щоб запис залежності вертикальної осі від горизонтальної був якомога більш компактним, відповідні координати rx і ry можна позначити через x і y. З рівняння, що зв’язує координатну вісь ч і час, можна визначити t як функцію ординати. Лінійний вираз матиме вигляд:

t = x /(V0 * cosa)

Якщо отриману формулу для часу підставити в рівняння для y координати, то замість тимчасового параметра з’явиться x. Тобто можна буде вивести залежність абсциси від ординати:

y = V0 * sinat- (g * t²)/2 = (tga) * x — (g/2 * V0 * cos²a) * x².

Значення t потрібно підставити в кожен доданок, але при цьому врахувати, що відношення синуса до косинуса називають тангенсом. Альфа у формулі – це кут між напрямком початкової швидкості і горизонтальним напрямком (кут кидка). Після виключення часу з цих рівнянь отримаємо рівняння траєкторії.

В результаті залишиться два доданки. Перший буде лінійний по іксу, а другий квадратичний. Таким чином, залежність y від x в рівнянні траєкторії — це парабола (праворуч стоїть квадратична функція). Вона проходить через початок координат. Якщо вірна рівність x = 0, то y теж буде дорівнювати нулю.

Слід звернути увагу на те, що у квадраті стоїть від’ємний коефіцієнт. Відомо, що якщо перед квадратичним доданком в рівнянні параболи стоїть від’ємне число, то кінці кривої будуть спрямовані вниз.

Рух тіла, кинутого горизонтально

Розв’язання задач

Рішення практичних завдань найкраще допомагає закріпити отримані знання. Існують фізичні збірки, які цікаві тим, що містять різні приклади, наближені до реалістичних завдань. Прорішуючи їх самостійно, учень не тільки краще розбереться в темі, а й навчиться застосовувати отримані знання на практиці.

Ось два таких завдання:

Задача 1

Нехай є тіло, рух якого описується рівностями: x = Vx * t; y = y0 + Vy * t. потрібно визначити траєкторію його переміщення, враховуючи, що Vx = 20 см/с, Vy = 2 м/с, Yo = 0,2 м.

Для вирішення завдання потрібно записати систему, яка визначається вихідними даними. Потім з першого рівності виразити час: t = x / Vx. Отриману формулу можна підставити у вираз знаходження координат абсциси: y = y0 +(Vy * x)/Vx.

Якщо тепер використовувати вихідні дані, то рівняння, що описує траєкторію, набуде вигляду: y = 0.2 + 4x.

Рівність нагадує собою формулу прямої: y = k * x + b. Виходячи з цього можна стверджувати, що траєкторія шляху також буде являти собою пряму лінію. Дійсно, в цьому можна переконатися, якщо побудувати графік руху. Для цього потрібно взяти кілька довільних значень для ікса, підставити їх у формулу і знайти другу координату.

Задача 2

Наступне завдання досить цікаве. Потрібно скласти траєкторію руху для тіла, що рухається рівномірно зі швидкістю два метри в секунду, при відхиленні шляху від осі ікс на 60 градусів.

За початок координат потрібно прийняти точку (0, 0). Тоді початковий радіус-вектор теж буде дорівнює нулю: R = 0.

Для успішного вирішення прикладу знадобиться згадати скалярні рівняння для проєкції при рівномірному русі. Оскільки за умовою вектор заданий, то можна знайти його проєкцію на вісь ігрек: Vx = v * cos60 = 1; Vy = v * cos30 = √3. Звідси: x = Vx * t = t; y = Vy * t = √3t.

Таким чином, щоб успішно вирішувати завдання, потрібно знати кілька основних формул для визначення місця розташування тіла, а також те, як виглядають рівняння параболи і прямою.

Варто відзначити, що існуючі онлайн-калькулятори не вміють обчислювати формули, що описують траєкторію шляху. Але разом з тим їх можна використовувати для виконання розрахунків або як довідники.

Leave a Reply

Ваша e-mail адреса не оприлюднюватиметься. Обов’язкові поля позначені *