Скалярні та векторні величини

Скалярні та векторні величини у фізиці та математиці



Величиною в фізиці і математиці називають властивості фізичних тіл, вимірюваних за допомогою виконання математичних операцій. Вони мають одиниці виміру і залежать від фізичних законів і аксіом.

Виділяють скалярні і векторні величини, що володіють різними характеристиками і параметрами.

Особливості скалярних величин

Скалярні величини характеризуються тільки одним параметром – числовим значенням. Вони поділяються на 2 види:

  • Чисті скаляри. Характеризуються числовим значенням, що не знаходяться в залежності від осей відліку — ліній перетину плоских поверхонь в єдиній системі координат.
  • Псевдоскаляри. Знаходяться за допомогою розрахунку числа, знак якого залежить від позитивного напрямку осей в системі координат.

Скалярні та векторні величини - приклад

У фізиці в список скалярних величин входять:

  • Маса – визначає величину матерії і її гравітаційні властивості. Вимірюється в кілограмах і позначається буквою латинського алфавіту m.
  • Температура – середня кінетична енергія фізичного тіла. Виражається в кельвінах або градусах Цельсія.
  • Робота – міра дії сили на фізичне тіло або систему тіл. Вимірюється в Джоулях і позначається латинською буквою A.
  • Довжина – величина, що визначає дистанцію між 2 кінцями тіла в поздовжньому напрямку. Обчислюється в метрах. Особливим видом довжини є шлях – скаляр, що виражає відстань між початковим і кінцевим положенням об’єкта, що здійснює переміщення по заданій траєкторії.
  • Час – тривалість дії або події. Розраховується в секундах.
  • Період – час здійснення 1 повного коливання. Позначається символом T і вимірюється в секундах.
  • Частота – величина, зворотна періоду. Визначає кількість повних коливань в одиницю часу. Розраховується в Герцах.
  • Об’єм – скаляр, що позначає розмір простору, обмеженого поверхнями з усіх боків. Вимірюється в м³.
  • Напруга – вимірює зміну потенційної енергії тіла, що припадає на одиницю заряду. Позначається буквою U і розраховується в Вольтах.
  • Сила струму – скаляр, що показує число електричних зарядів, що проходять через перетин провідника в одиницю часу. Позначається символом I і розраховується в Амперах.
  • Енергія – позначає здатність тіла здійснювати роботу.

Якщо скаляри виражають одну єдину властивість фізичного тіла, то вони називаються однорідними.

Величини, що описують кілька властивостей об’єкта, іменуються різнорідними. Однорідні скаляри порівнянні: вони або рівні, або один  з них більше або менше іншого. Але скалярні величини різного роду не можуть порівнюватися один з одним.

Скалярні і векторі величини - приклад

Визначення позитивного скаляра і його вимірювання

Поняття позитивної скалярної величини і її вимірювання дозволяє порівнювати між собою однорідні скаляри. Позитивна скалярна величина здатна приймати значення строго вище 0. Вона позначається знаком “+”. Якщо величина може приймати значення менше 0, то вона називається негативною і позначається символом “-“. Більшість скалярів можуть бути тільки позитивними. Для їх розрахунку використовують одиниці виміру – фіксовані розміри об’єкта.

Щоб отримати скалярну величину, досить помножити її числове значення на її одиницю виміру.

Для структуризації і стандартизації обчислень фізичних параметрів тіла була розроблена Міжнародна система СІ. Вона встановлює одиниці виміру для кожної величини. Під час проведення розрахунків скалярних величин застосовують алгебраїчні дії:

  • додавання;
  • віднімання;
  • ділення;
  • множення (окремий підвид — зведення в ступінь).

Що таке вектор - визначення

Особливості векторних величин

Їх визначення: у фізиці векторними величинами називаються властивості матерії, що характеризуються декількома параметрами: модулем і напрямком. Модулем вектора буде числове значення величини, яке ніколи не приймає негативних значень. Він позначається символом “||”. Для позначення напрямку використовується стрілка, розташована над символом вектора “→”.

У фізиці та математиці прикладами векторних величин є:

  • Сила – міра взаємодії фізичних речовин. Позначається латинською літерою F і вимірюється в Ньютонах. Три закони Ісаака Ньютона складають основу класичної механіки. З їх допомогою можна визначити масу тіла і його прискорення.
  • Швидкість – відстань, пройдена точкою за певний часовий проміжок. Позначається символом V і розраховується в м/с. Швидкість використовується для визначення шляху і часу руху предмета за допомогою формули: S = V * t. Швидкість, з якою тіло рухається по колу, називається лінійною.

  • Прискорення – це величина, що показує зміну показників швидкості фізичного тіла. Прискорення вільного падіння діє на всі тіла, надаючи їм силу тяжіння. Воно спрямоване до ядра Землі і дорівнює 9,8 м/с².
  • Імпульс – характеризує величину руху тіла. Маркується буквою латинського алфавіту p і розраховується в кг * м/с. За допомогою цієї величини людина може визначити масу фізичного тіла і швидкість його пересування.

На графіках функції векторні величини зображуються у вигляді прямої лінії, що має напрямок і свої власні координати в заданому масштабі.

Довжина вектора

Властивості векторів

Вектор – це математичний елемент, що являє собою прямий відрізок з напрямком. Він позначається або 2 латинськими літерами, або однієї великої. Довжиною вектора є його модуль.

Якщо довжина вектора дорівнює 0, то він називається нульовим.

Вектор, що має довжину 1 см, іменується одиничним. Довжина ненульового вектора виражається у вигляді відстані між початком і кінцем спрямованого відрізка. Проекцією вектора на вісь є строго позитивним відрізок, співнаправленим з вихідною віссю.

Властивості проєкції:

  • Добуток вектора на косинус між віссю і вектором дорівнює проєкції вектора.
  • Проєкція на вісь приймає значення менше 0, якщо відрізок з віссю утворює тупий кут.
  • Проєкція на вісь приймає значення більше 0, якщо відрізок з віссю утворює гострий кут.
  • Колінеарні вектори – це відрізки, розташовані або на одній прямій, або на паралельних прямих.
  • Нульовий вектор коллінеарний завжди. Якщо колінеарні вектори направлені в одну сторону, то вони називаються співнаправленими. Якщо відрізки направлені в діаметрально протилежні сторони, то вони називаються протилежно спрямованими. Колінеарні вектори є рівними, якщо вони однакові по модулю і напрямку.

Побудова відрізків з напрямком на площині здійснюється за допомогою його координат для осей абсциса і ордината. Для зображення вектора необхідно побудувати точки, координати яких відповідають початку і кінцю вектора, і з’єднати їх.

Властивості додавання векторів

З векторами також можна проводити операції:

  • додавання;
  • ділення;
  • віднімання;
  • множення.

Щоб скласти два вектори, необхідно від довільної точки на площині відкласти перший вектор і від нього відкласти другий вектор. Відрізок, що з’єднує початок першого вектора і кінець другого, буде вважатися їх сумою. Цей спосіб складання іменується методом трикутника.

Другим способом знаходження суми векторів є метод паралелограма. Від довільної точки відкладаються обидва вектори. Отриманий малюнок потрібно добудувати до паралелограма. Діагональ фігури буде сумою векторів.

Віднімання векторів

Для здійснення віднімання необхідно відкласти від довільної точки перший вектор. Від отриманого відрізка відкладається наступний вектор. Другий відрізок потрібно направити в протилежну сторону. Лінія, що з’єднує відрізки, буде різницею векторів.

З векторами також можна проводити операцію множення. Добуток довжин спрямованих відрізків на косинус кута між ними називається скалярним. В результаті обчислень виходить число – скаляр.

Скалярний добуток дорівнює 0 в разі, коли відрізки перетинаються під кутом 90°. Знаючи скалярний добуток, можна знайти косинус кута між побудованими векторами.

Отримані в результаті виконання алгебраїчних операцій вирази застосовуються для дослідження переміщення тіл навколо осі обертання і вивчення елементів вищої математики. Також вектори знайшли широке застосування в геометрії та астрономії.

Leave a Reply

Ваша e-mail адреса не оприлюднюватиметься. Обов’язкові поля позначені *