У фізиці сила Лоренца являє собою комбінацію електричної та магнітної сили на точковому заряді, викликаному електромагнітними полями. Варіація її формули представлена в працях інших вчених.
Формулювання і формули
Частинка з зарядом q відчуває силу F, коли рухається зі швидкістю v в електричному (E) і магнітному (B) полях. Визначається вона як F = qE + qv x B і вимірюється в одиницях СІ — N (ньютон). З точки зору декартових компонентів є:
- F x = q (E x + ⱴ y B z — ⱴ z B y);
- F y = q (E y + ⱴ z B x — ⱴ x B z);
- F z = q (E z + ⱴ x B y — ⱴ y B x).
E і B – це функції положення часу. Отже, рівність може бути записана як
F (r, ṙ, t, q) = q [E (r, t) + ṙ x B (r, t)],
де
- r — вектор положення зарядженої частинки,
- t — час,
- а овердот — похідна часу.
Прискорення частинки відбуватиметься в тій же лінійній орієнтації, що і поле E, але стане згинатися перпендикулярно як вектору миттєвої швидкості v, так і полю B.
Це говорить про відповідність формули сили Лоренца і «правилу лівої руки». Також тут буде працювати і “правило гвинта”.
Комбінація q E називається електричною силою, а q (v + B) — магнітною. У цьому контексті її можна називати силою Лапласа. Вона не впливає на потужність, тому що завжди перпендикулярна швидкості частинки.
Для безперервного розподілу заряду в русі рівняння приймає вигляд:
dE = dq (E + v + B)
Якщо обидві частини рівності будуть розділені на об’єм невеликого фрагмента dV, результат буде виглядати наступним чином: f = p (E + v x B). Тому безперервним аналогом рівняння є:
f = pe + J x B
де
- J – щільність струму.
Сумарна сила – це інтеграл об’єму за розподілом заряду: F = ∫ ∫ ∫ (p e + J x B) DV. Усуваючи p і J, використовуючи рівняння Максвелла і маніпулюючи за допомогою теорем векторного числення, цю форму можна використовувати для отримання тензора напруги σ.
Своєю чергою, це можна об’єднати з вектором Пойнтінга s для отримання електромагнітного тензора енергії – імпульсу T, використовуваного в загальній теорії відносності.
Історична довідка
Ранні спроби кількісно описати електромагнітну силу були зроблені тільки в середині XVIII століття. Було висловлено припущення, що сила на магнітних полюсах Йоганна Тобіаса Майера і електрично заряджених об’єктах Генрі Кавендіша підпорядковувалася закону зворотних квадратів.
Проте в обох випадках експериментальний доказ не був повним і переконливим. Лише в 1784 році Шарль-Августин де Кулон, використовуючи торсіонний баланс, зміг остаточно показати, що це правда.
Після відкриття в 1820 році Ерстедом того, що на магнітну стрілку діє струм вольта, Андре-Марі Ампер в тому ж році зміг розробити формулу кутової залежності сили між двома струмовими елементами.
Джей Джей Томсон був першим, хто намагався вивести з рівнянь поля Максвелла електромагнітні сили на рухомий заряджений об’єкт з точки зору його властивостей. Однак Томсон був зацікавлений виражати ці величини в катодних променях.
Тому в 1881 році він публікує статтю, де розміщує свою формулу
F = q/2 v * B
Вона виявилася базовою, але через деякі прорахунки і неповний опис струму зміщення він включив невірний масштабний коефіцієнт, рівний половині.
Олівер Хевісайд винайшов сучасний векторний запис і застосував його до рівнянь Максвелла. Він також виправив помилки виводу і прийшов до правильної форми магнітної сили на рухомому зарядженому об’єкті.
Значення та визначення
Закон сили Лоренца описує вплив E і B на точковий заряд, але такий вплив не показує всю картину. Заряджені частинки не просто дрейфують в однорідному електромагнітному полі. Можливо, вони піддаються і іншим впливам, наприклад, гравітації.
У реальних матеріалах висновки фізика не підходять для опису колективної поведінки таких частинок, як в принципі і для обчислення, оскільки тіла не тільки реагують на поля E і B, але і генерують їх.
Складні рівняння перенесення повинні вирішуватися для визначення часової та просторової реакції зарядів, наприклад, рівностей:
- Больцмана;
- Фоккера-Планка;
- Нав’є-Стокса.
Для більшої точності слід пояснити, що під силою Лоренца розуміється наступне емпіричне твердження: F на пробному заряді в даній точці і даному часу є певною функцією заряду q і швидкості V, яка може бути параметризована рівно двома векторами E і B в формі:
F = q (E + v x B)
Це справедливо навіть для частинок, що наближаються до швидкості світла. Таким чином, два векторних поля (магнітне і електричне) визначаються у всьому просторі і часі щодо того, яку силу отримає випробувальний заряд.
Крім того, коли у заряду є прискорення, як якби він був змушений рухатися по викривленій будь-якими зовнішніми агентами траєкторії, від нього виходить випромінювання, що викликають гальмування. Ці ефекти відбуваються як через прямий вплив, так і непрямий. Крім іншого, потрібно враховувати гравітацію і інші сили.
Посилення і рушійна ЕРС
Коли дріт, що несе електричний струм, поміщається в магнітне поле, кожен з рухомих зарядів, які складають струм, відчуває силу Лоренца. Разом вони можуть створювати макроскопічну силу Лапласа. Виходячи з цього, утворюється формула:
F = Iℓ x B
де
- ℓ — вектор, величина якого і є довжина дроту. Його напрямок співпадає з рухом звичайного струму.
Якщо дріт не прямий, а вигнутий, розрахунок відбувається шляхом застосування цього рівняння до кожного нескінченно малому сегменту провідника d ℓ. Потім потрібно скласти все за допомогою інтегрування. Формально чиста сила дорівнює
F = I ∫ dℓ x B
Крім того, зазвичай виникає крутний момент і інші ефекти, якщо провід не є абсолютно жорстким.
Компонент (qv x B) відповідає за рушійну електрорушійної сили (ЕРС). Це явище, що лежить в основі багатьох електричних генераторів, виключаючи ті, в яких рухаються тільки магніти, а не провідники. У таких випадках ЕРС обумовлена (q E). Таке явище описано рівнянням Максвелла-Фарадея.
Насправді, електричні та магнітні поля є різними гранями одного і того ж електромагнітного поля. Тому при переході від однієї інерціальної системи відліку в іншу (соленоїдальне векторне поле) частина E може змінитися в цілому або частково стати B або навпаки.
Інтеграція в інші напрямки
Застосування сили Лоренца і її взаємодія з іншими суміжними науками очевидна. Взяти хоч аналітичну механіку. Наприклад, лоренцівське рівняння можна отримати, використовуючи формули Лагранжа.
Також релятивну форму цього закону можна вирішити за допомогою просторово-часової алгебри (тип Кліффорда). У загальній теорії відносності рівняння руху для частинки з масою m і зарядом e, що рухається в просторі з метричним тензором g ab і електромагнітним полем F ab, має наступний вираз:
- m du c/ds — m ½ g ab, c ua ub = eF cbub;
- m du c/ds — m г abc uaub= eF CB ub.
З закону індукції Фарадея (який дійсний для рухомого дроту, наприклад, в двигуні) і рівнянь Максвелла можна вивести силу Лоренца. Напрямок розрахунків у зворотний бік також вірний.
Фарадеївський постулат не залежить від того, чи:
- є дротяна петля жорсткою і нерухомою;
- знаходиться вона в русі або в процесі деформації;
- зберігається магнітне поле постійним в часі або воно змінюється.
Однак є випадки, коли закон або неадекватний, або важкий у використанні. Саме тут необхідне застосування основоположного Закону Лоренца.
Широке застосування закону Лоренца
Першими приладами для передбачуваних відкриттів стали циклотрони. Сенс їх роботи досить простий: частинки рухаються півколом. Кожен раз, коли вони проходять певну область, спеціальний модуль включає електричне поле, щоб прискорити їх.
Мас-спектрометри застосовуються для ідентифікації атомів і молекул. Вони використовуються в наступних пристроях:
- електродвигуни;
- гучномовеці;
- рейкові пістолети.
Здатність сили Лоренца пов’язувати механічне зміщення з електричним струмом представляє великий інтерес для медичної акустики. Наприклад, розроблявся гідрофон для картування швидкості частинок акустичного поля. Передбачалося, що він буде побудований з використанням тонкого мідного дроту і зовнішнього магнітного поля.
Модель була розроблена для визначення взаємозв’язку між акустичним тиском і виміряним електричним струмом, який індукується, коли дріт вібрує в акустичному полі ультразвукового перетворювача.
Створений прототип був охарактеризований. Було досліджено його:
- просторову роздільну здатність;
- частотну характеристику;
- чутливість;
- надійність;
- характеристику спрямованості.
Цей метод був застосований для візуалізації желатинового фантома, зразка м’язів яловичини і термічного ураження в зразку курячої грудки. Це показало, що метод може бути корисним для забезпечення додаткового контрасту в порівнянні зі звичайною ультразвуковою візуалізацією.
