Тіло, що переміщається в реальному середовищі, відчуває опір своєму руху. Дуже часто воно виникає внаслідок сили тертя кочення.
Формула, що описує процес, зіграла величезну роль в сучасній техніці. Завдяки їй з’явилася можливість розрахувати оптимальну роботу підшипників, без яких важко уявити сучасний механічний агрегат з обертовими деталями.
Загальні відомості про силу тертя кочення
Під час перекочування тіл виникає їх взаємодія. Описується вона силою тертя кочення. Її існування можливе тільки при контакті поверхонь. При цьому поряд з коченням виникають сили спокою і ковзання.
З фізичної точки зору, тертя являє собою вектор, напрямок якого збігається з лінією, що проходить уздовж дотичної тертьових поверхонь. Сила, що вимірюється щодо переміщення дотичних тіл, називається зовнішньою, а та, що виникає в області одного об’єкта, наприклад, газу — внутрішньою.
Тертя залежить від поверхні тіл. Воно може бути сухим або в’язким. В одиницях СІ сила вимірюється в ньютонах: [P]=H. Існує таке поняття, як адгезія, тобто здатність тіл «прилипати» один до одного. Залежить вона від шорсткості. Чим цей параметр більше, тим більше потрібно витратити енергії для зміщення поверхонь, але водночас її витрати будуть менше для повного гальмування.
Для зменшення ефекту існують кілька способів змінити тертя:
- згладити поверхні;
- змінити мастило;
- замінити ковзання коченням.
Обчислення сили виконують за формулою:
F = K * N
де:
- F – сила;
- K – коефіцієнт;
- N – реакція опори.
Прикладений опір направлений в протилежну сторону руху, при цьому реакція сили опори відбувається перпендикулярно площі зіткнення. Коефіцієнт є безрозмірною величиною і не залежить від розміру контакту. Якщо енергія руху збігається за величиною з тертям, тіло рухається рівномірно по прямій. Якщо ж рушійна сила буде менше, об’єкт зупиниться.
Кочення тіла
З назви сили можна зробити висновок, що сила кочення виникає, коли одне тіло перекочується по поверхні іншого. Наприклад, їзда з використанням колеса або робота підшипника. По суті, це явище, що відбувається через деформацію катка і опорної поверхні. При цьому покладається, що тягових і гальмівних процесів немає.
Через те, що тертя кочення в кілька разів менше ковзання, воно є досить поширеним видом переміщення. Наприклад, вантаж котити легше, ніж тягнути. Це відбувається через меншу кількість контактів з поверхнею. При цьому відштовхуватися від твердого тіла простіше, ніж від м’якого.
Для визначення процесу фізики використовують наступне пояснення: нехай є тіло, яке розташовується на опорі. Щодо неї відбувається обертання. У будь-який обраний момент часу на обертовий об’єкт буде діяти момент сил. При цьому векторна сума їх буде дорівнювати нулю:
N + P + Ro = 0
Діючий момент складається із:
- зовнішньої сили (P);
- притискної (N);
- реакції опори (Ro).
Якщо сума векторів дорівнює нулю, вісь симетрії знаходиться в рівномірному і прямолінійному русі або залишається в одному положенні (нерухома). Іншими словами, вектор сили тертя кочення протидіє переміщенню. Отже, притискний момент врівноважується реакцією опори, а, точніше, її вертикальною складовою. Зовнішня ж сила знаходиться в рівновазі з горизонтальною складовою.
Рівномірність позначає, що моменти, які впливають, компенсують один одного. А значить, формула для опису процесу буде виглядати так:
Ft * R = N * f
де
- Ft — сила тертя кочення.
З цієї формули можна знайти силу:
Ft = f * N / R
Правильність формули підтверджують різні експериментальні вимірювання. І дійсно, при малій швидкості кочення процес не залежить від неї. Коли ж швидкість зростає до величин порівнянних з деформацією в опорі, опір руху стає пропорційним її росту і вплив починає створювати вже ковзання.
Момент і коефіцієнт тертя
Нехай є циліндр, розташований на ідеальній гладкій жорсткій поверхні. Яку б силу Q не доклали, врівноважити її можна тільки енергією, що протидіє. Якщо ж такої енергії немає, під дією Q циліндр повинен котитися. Але досліди показують зовсім інше. Наприклад, якщо підійти до багатотонної вантажівки і спробувати її штовхнути, вона не покотиться. Хоча теорія стверджує зворотне.
Але тут річ у тому, що поверхня вважається ідеальною. У момент часу на тіло, крім Q, діє рівне їй зчеплення. Ці сили будуть врівноваженими. У вертикальній же площині на тіло діє нормаль (N) і протидіє їй сила рівноваги (P).
Момент сил тут буде наступним:
- P – вага колеса, спрямований вниз;
- N – момент нормалі протилежний P;
- Q – імпульс кочення.
Переміщенню перешкоджає рівновага пари PN. При цьому плече пари буде половинного розміру, тобто виникає момент сил тертя. Визначають його як N поділене на дельту і називають моментом тертя:
Мтр = N * d
Ця формула збігається за формою запису з законом Амонтона-Кулона. І там, і тут фігурує величина опори.
Стає очевидним, що
R * Q = Мтр = P * d
Використовуючи цей запис, можна виявити граничний імпульс, який необхідно прикласти до колеса, щоб змусити його рухатися:
Q = pd/R
При цьому якщо колесо буде ковзати, а не котитися, Q буде вже залежати від тертя:
Q = p * f
Порівнюючи дві формули стає видно, що d/r буде набагато менше f, тому кочення відбудеться раніше. Це властивість якраз і використовується в підшипниках. Знаходження коефіцієнта тертя можна виконати через момент тертя кочення і тиск притиску:
f = Мтр/N
Він визначається наступними фізичними інтерпретаціями:
- f дорівнює довжині лінії, що з’єднує прямі, уздовж яких створюються нормаль і тиск вниз;
- для неідеалізованих випадків миттєвий центр обертання зрушать у бік кочення тіла, при цьому значення зміщення дорівнює коефіцієнту тертя.
Для:
- м’якого дерева, що котиться по сталі, коефіцієнт становить 0,8 мм;
- сталі по асфальту – 6 мм;
- заліза по граніту — 2,1 мм.
Це довідкова величина, встановлена експериментально, яку не потрібно обчислювати самостійно.
Розв’язання задачі
При вирішенні завдань потрібно пам’ятати, що тертя кручення залежить не тільки від властивостей матеріалів, що беруть участь в русі, але і від радіуса. При цьому часто областю деформації нехтують, оскільки величина зминання мізерно мала, тому знаходження за формулою сили тертя через масу при коченні не виконують.
Алгоритм вирішення прикладів:
- Умови завдання зображують на малюнку. На ньому показують напрямок можливого переміщення до моменту настання рівноваги.
- На кресленні малюють момент тертя протилежно руху, вказують вектор зчеплення, спрямований уздовж поверхні.
- Використовуючи метод представлення системи у вигляді окремих тіл, замінюють зв’язки реакціями.
- Вирішують рівняння рівноваги. Для цього проєкції циліндричних тіл беруть уздовж нормальної осі, а рівняння моментів складають щодо точки дотику.
- Змінюють напрямок можливого переміщення системи і руху моменту кочення. Знаходять другу умову рівноваги.
Наприклад, є 2 циліндри з однаковими радіусами: R = 50 см. Їх вага становить відповідно 20 і 30 ньютон. Вони з’єднані стрижнем масою 40 ньютон. Перший циліндр котиться без опору, а другий відчуває тертя d = 2 мм. До першого кільця прикладена пара моментів, а до осі другого — навантаження в 10 ньютон. Треба визначити межі зміни моменту в умовах рівноваги.
Для вирішення завдання потрібно скористатися формулою:
Мтр = N2 * d
Систему можна розбити на 3 тіла. Зв’язки замінити реакціями Fc1, N1, Fc2, N2. Внутрішні зв’язки позначити x1, y1, x2, y2. При складанні системи потрібно уникати рівнянь з реакціями F. Рівновагу для першого циліндра можна визначити з системи:
- Yц = Y1 + N1-G1 = 0;
- Mц = = X1 * R-M = 0.
Для другого колеса:
- Yi = Y2 + N2 – G2 – F sin45 = 0;
- M ц 2 = – X2 * r – mтр + F cos45 * R= 0.
Для стрижня:
- Xi = -x1 – x 2 = 0;
- Yi = -y – y2 -G3 = 0;
- Ma = =x2 * AB * sin30 – Y2 * AB * cos30 – G3 (AB/2) * cos 30 = 0.
З рішення системи можна визначити, що м = (√3R FR √2 — d (G3 + 2G2 + FV2)) / (R (√3+d)). Всі обчислення потрібно робити в метрах. Підставивши значення, задані умовою, можна обчислити, що м = 3,414.
Нормальні реакції будуть рівні: N = 36,058 Н, N2 = 61,013 Н. Аналогічні обчислення виконують і при зміні напрямку можливого переміщення. У відповіді повинно вийти, що M = 3, 66 Нм, N1 = 35.8 Н, Т2 = 61,3 Н.
Таким чином, межа буде лежати в області від 3,414 Нм до 3, 66 Нм.
