Центр ваги тіла — формули і приклади знаходження



Точку, в якій сили, що діють на фізичний об’єкт зрівнюють одна одну, називають центром ваги тіла. В геометрії цей термін збігається з поняттям центр мас.

Знаючи його місце розташування, інженери створюють машини і різні механізми, що знаходяться в рівновазі. Зміна ж центру мас дозволяє здійснювати потрібне переміщення шляхом падіння тіла, тому розрахунок координат місця рівноваги так важливий для практичного застосування.

Що таке центр ваги

Загальні відомості

Нехай є фізичне тіло, на яке не створюється вплив, тобто інші об’єкти не діють або їх сили впливу скомпенсовані. Таке тіло буде перебувати в стані прямолінійного руху або спокою. Для зручності можна прийняти, що об’єкт нерухомий, наприклад, нехай це буде човен на поверхні води.

Якщо до плавального засобу докласти силу, зміщену до початку човна F1, судно почне повертатися в бік напрямку впливу. Якщо її перемістити в горизонтальній площині в інший кінець судна, човен почне також повертатися, але напрямок обертання зміниться.

Звідси можна зробити висновок, що існує така точка прикладання сили, точніше, лінія, при впливі на яку човен не змінить свого положення, тобто плавальний засіб почне рухатися прискорено поступально.

Припустимо, це буде сила F3. Логічно, що можна підібрати і іншу силу, що викликає поступальне прямолінійне переміщення, наприклад, F4.

При цьому точку впливу можна переміщати по лінії її напрямку, оскільки, згідно з правилом, величина дії при цьому не змінюється. У підсумку вийде точка, де перетнуться прикладені сили F3 і F4. Таких моментів можна докласти скільки завгодно, при цьому вони всі з’єднаються в одному місці.

Точку перетину ліній дії сил, які викликають прискорений поступальний рух тіла, називають центром мас.

На човен діє ще одна сила – сила тяжіння. Насправді вона впливає на кожну частинку об’єкта, тому на тіло одночасно впливає величезна кількість моментів. Цю безліч моментів і сил й прийнято замінювати їх рівнодіючою – тобто силою, що прикладена до центру ваги. У фізиці даний параметр позначають як mg. Іншими словами, це точка прикладання рівнодіючих сил тяжіння.

Існує взаємозв’язок між масою і вагою.

Якщо тіло розбити на шматочки і кинути їх, швидкість падіння буде для всіх тіл однаковою, оскільки прискорення не залежить від маси.

При цьому об’єкт, що падає, буде рухатися поступально.

А значить, прикладена сила проходить через центр мас, тобто через центр ваги, тому попри різний принцип визначення цих точок, їх положення збігається.

Центр системи паралельних сил

Пошук центру ваги

Щоб визначити центр ваги для тіла складної форми, його потрібно розділити на прості фігури і визначити точки рівноваги для кожної з них. Для простих геометричних об’єктів використовують симетрію.

Наприклад, симетрія в кулі розташовується в центрі, в однорідному циліндрі — в точці на середині осі. Окремим випадком розбиття фігури при визначенні є метод негативних площ. Його застосовують до тіл, які мають вирізи, і при цьому площа віддаленої частини відома.

Визначення центру тяжіння

Ось формули для обчислення центру в деяких фігурах:

  • У трикутнику: x = (1/3) * (x1 + x2 + x3); y = (1/3) * (y1 + y2 + y3). Фізично центр знаходиться в точці перетину медіан і являє собою середнє арифметичне з координат вершин.
  • У прямокутнику: x = b/2; y = h/2. Центр рівноваги розташовується в точці перетину діагональних прямих.
  • У півкола: x =D/2; y = 4R/3π. Шукана точка лежить на осі симетрії.
  • У колі: x = R; y = R. Точка тяжіння знаходиться в центрі фігури.

Варто відзначити, що центр ваги об’ємних тіл може перебувати і поза фігури, наприклад, як у кільця. Взагалі ж для тривимірного простору, як вчать на уроках фізики в 7 класі, центр ваги тіла обчислюють за формулами:

  • x = (ΣΔ m * x)/M;
  • y = (ΣΔ m * y)/m;
  • z = (ΣΔ m * z)/m,

де:

  • m — маса тіла;
  • x, y, z — координати шуканої точки в просторі.

Рівняння можна переписати і у векторній формі:

r = (1/m) Σm * r

де

  • r — радіус вектор.

Існує і ряд теорем, завдяки яким можна визначити точку маси в тілі:

  • При розгляді однорідного тіла, що має площину симетрії, центр маси буде знаходитися в цій площині.
  • Якщо однорідне тіло має вісь симетрії, центр розташовується на ній.
  • Центр симетрії однорідної фігури збігається з центром маси.
  • Центр мас симетричних фігур знаходиться в їх геометричному центрі.

Точку рівноваги фігури можна знаходити і через об’єм: R = (1 / V) * ∫ ∫ ∫ RDV. Для плоских об’єктів використовується формула R = (1 / S) * ∫ ∫ ∫ RDS, а однорідної лінії R = (1 / L) * ∫ ∫ ∫ RDL.

Варто відзначити, що поняття точки тяжіння може бути застосоване тільки до твердих об’єктів. Якщо це не так, використання поняття не має сенсу.

Положення центру ваги деяких тіл

Приклад завдання

Теоретичний матеріал найкраще засвоюється на практичних завданнях. Не виняток і поняття про центр ваги. Тема нескладна, але при знаходженні параметра бажано зобразити фігуру на малюнку.

Найбільш часто учням викладач пропонує розв’язувати задачу про знаходження центру мас складного тіла, але при цьому досить симетричного. Наприклад, нехай є диск з однорідної пластини, в якому вирізаний шматок трикутної форми. Необхідно знайти центр рівноваги об’єкта.

Якщо намалювати умову задачі, стане зрозуміло, що трикутник прямокутний, а центр мас знаходиться на горизонтальній прямій, що проходить через середину диска. Нехай це буде вісь x. щоб розв’язувати задачу, потрібно розбити складну фігуру на кілька частин, в кожній з яких можна знайти шукану точку.

Симетрично віддаленому трикутнику можна виділити аналогічну частину. В результаті залишиться коло з вирізаним всередині квадратом. Точка мас диска знаходиться в центрі. Для зручності її можна позначити як x1. Друга фігура – це трикутник. Точка рівноваги у нього знаходиться на перетині медіан. Тобто на 1/3 висоти. Позначити точку можна як x2.

Мета знаходження ваги тіла

Якщо маса трикутника дорівнює М2, а кола М1, шукану координату можна визначити за формулою:

x = (m1x1 + m2x2) / m1 + m2.

Далі, потрібно знайти, чому дорівнює сторона вирізаного трикутника. З малюнка можна зрозуміти, що цz відстань буде

r * √2

де

  • r — радіус диска.

Тепер можна знайти, чому будуть рівні x1 і x2. x1 буде дорівнювати нулю, оскільки цю точку можна прийняти за початок координат. x2 ж буде дорівнювати 1/3 довжини медіани. Висота фігури збігається з радіусом диска, значить:

x2 = R/3

У таких завданнях найскладніше – це знайти маси. Першу можна визначити виходячи з того, що вона буде дорівнювати масі диска мінус значення квадрата. Оскільки фігура однорідна, маса прямо пропорційна площі. Тоді для першої ділянки

m1 = σ * S = σ *(Ѕкола — Ѕквадрата) = σ * (pR2 — 2R2) = σR2 * (p — 2)

де:

  • σ – поверхнева площа.

Відповідно, m2 = σ * Ѕтрик = σ * R2. Всі знайдені величини потрібно підставити в формулу і знайти відповідь:

x = ((r * σ * R2/3))/(σ * R2 * (p — 2) + σ * R2) = (r/3 (p — 1)).

Це і буде шукана координата.

Leave a Reply

Ваша e-mail адреса не оприлюднюватиметься. Обов’язкові поля позначені *