Чому залізні кораблі не тонуть? Чому важкі цепеліни не падають на землю? На ці питання відповідає закон Архімеда. Відкриття, зроблене давньогрецьким фізиком, зумовлює умови плавання тіл в рідині, пояснює можливість літання повітряних куль і дирижаблів.
Математична формула, виведена великим греком після експериментів і дослідів, використовується в проєкт корабелів і конструкторів літальних апаратів
Закон Архімеда
Місце розташування предмета в просторі пояснюється діючими на нього силами. Порушення балансу прикладених зусиль виводить об’єкт з рівноважного стану і дає старт руху. У газоподібному середовищі і рідини вертикальний хід тіла залежить від пари сил — виштовхуючої сили і ваги.
Коротка біографія Архімеда
Архімед народився у 287 році до н. е. на Сицилії в грецькій колонії Сіракузи. У дитинстві за виховання хлопчика взявся батько-астроном і математик Фідій. Всебічну освіту юнак отримав в Олександрії, де займався вивченням праць Демокріта і Євдокса, спілкувався з Ератосфеном і Кононом. Життя в науковій столиці стародавнього світу сформувало Архімеда як талановитого дослідника і експериментатора.
Вчені, що вплинули на становлення Архімеда:
- Грецький філолог і географ Ератосфен – обчислив розміри Землі;
- математик і астроном Конон, який складав прогнози погоди і календарі із зазначенням часу сходу і заходу сонця;
- у працях мислителя Демокріта розроблена теорія неподільної частинки – атома, яка лягла в основу матеріалістичної філософії;
- малоазіатський філософ Євдокс, якого вважають родоначальником інтегральних обчислень і теоретичної астрономії.
Після навчання в Єгипті Архімед повернувся в Сіракузи, де жив до трагічної загибелі у 212 році до н.е. За три роки до цього римляни почали облогу сицилійського міста, яке допомагало Карфагенській державі.
Інженерний талант грецького математика допомагав городянам стримувати легіони нападників. Обложені греки використовували катапульти різного калібру і підйомні крани, які за допомогою гаків перевертали ворожі галери. Криві дзеркала, що фокусують промені в одну точку, спалювали ворожий флот.
Існує кілька варіантів легенди про загибель Архімеда, але описи збігаються в одному – мислителя, зайнятого в цей момент науковими дослідженнями, вбив Римський солдат, після того як Сіракузи здалися на милість переможця.
Розраховуючи площі поверхні фігур і об’єми тіл, математик заклав основи інтегрального і диференціального обчислення величин. Інженерні розробки великого винахідника знаходять застосування і в сучасних конструкціях.
Тіло, занурене в рідину
В історії науки відомі приклади, коли практичні запити суспільства призводять до наукових відкриттів. Подібним чином був відкритий основний закон статики. Обчислюючи об’єм царської корони, Архімед занурював символ державної влади в посудину з водою.
При цьому вчений звернув увагу, що предмет, опущений в рідину, стає легше. Наступні роздуми приводять великого грека до відкриття гідростатичного Закону, названим його ім’ям.
Закон Архімеда говорить, що на тіло, занурене в газове середовище або рідина, діє сила, рівна вазі того об’єму газу або рідини, який витіснило це тіло. Мовою математики постулат виражається рівнянням:
F = gρV
Смислове визначення математичних символів, використаних у формулі:
- F – виштовхуюча або Архімедова сила;
- g – коефіцієнт прискорення вільного падіння, рівний 9,8 м/с²;
- ρ – щільність середовища, в яку поміщено тіло;
- V – об’єм витісненої рідини або газу.
У невагомості, де g = 0, закон Архімеда не працює. Взаємодія двох сил – тяжіння Ft і виштовуючої сFa – визначає поведінку об’єкта в просторі. Наочним прикладом прояву сили Архімеда є підйом бульбашки повітря до поверхні води.
На тіло, що плаває на кордоні середовищ з різними щільностями, діє сумарна сила:
Fa = (ρ₁V₁ + ρ₂V₂ + ρ₃V₃ +…),
де
- ρ₁, ρ₂, ρ₃ – густини різних середовищ;
- V₁, V₂, V₃ – об’єм частин предмета.
Розбирають три варіанти розвитку подій:
- Якщо Ft Fa, то тіло починає спливати.
- За умови Ft = Fa, об’єкт перебуває в стані спокою.
- Якщо Ft Fa, то відбувається занурення предмета.
Аналогічним чином розвивається ситуація, якщо значення сил замінити величинами щільності тіла і рідини або газу. Тобто, замість сили тяжіння ft використовувати щільність предмета, а замість виштовхуючої сили Fa розглядати щільність середовища, в яку поміщений об’єкт.
Кораблі не тонуть, Дирижаблі літають
Плавучістю корабля називається здатність судна залишатися в рівноважному стані, не спливаючи і не занурюючись на глибину. За законом Архімеда умови плавання тіл виникають при рівності сили тяжіння виштовхує силі.
Запас плавучості визначається процентним відношенням об’єму водонепроникної порожнини вище ватерлінії до об’єму всього корабля. Надводні судна розраховуються з резервом плавучості не менше 50%.
Формула розрахунку запасу плавучості:
W = v / V * 100%
де
- W – запас плавучості,
- v – об’єм відсіків над ватерлінією,
- V – об’єм всього корабля.
Водотоннажність є основною характеристикою водного транспорту і дорівнює кількості води, витісненої підводною частиною плавального засобу. Ватерлінія, будучи горизонтальним перетином, позначається на корпусі і візуально показує рівень нормальної водотоннажності. Віднімання ваги судна з водотоннажності представить вантажність транспортного засобу.
У фізичному сенсі запас плавучості позначає можливість перебувати на поверхні водойми. Розрізняють нейтральну і негативну плавучість. У першому випадку W = 0% і судно занурене у воду до рівня палуби. Найменший зовнішній вплив призводить до затоплення. У другому випадку корабель не здатний триматися на плаву.
На цьому постулаті заснований принцип повітроплавання. У формулі закону Архімеда використовується щільність повітря.
Щоб літальний апарат піднявся, оболонку аеростата або дирижабля наповнюють газом легше повітря. Для цього підходять водень і гелій, чиї щільності менше суміші атмосферних газів. Через вибухонебезпечність водню частіше застосовується гелій.
Ідеальним варіантом вважається використання в оболонці повітряної кулі підігрітого повітря. Пальник встановлюється під отвором в нижній частині сфери. Періодичне включення нагрівального елементу змінює температуру і щільність повітря всередині кулі, що дозволяє регулювати швидкість підйому або спуску.
Вирішення прикладів
Завдання 1. Необхідно обчислити виштовхуючу силу води, що діє на суцільне тіло циліндричної форми об’ємом 2 м³. Табличне значення щільності води дорівнює 1 тис.кг/м³.
Рішення. Перш за все, визначається маса витісненої води:
m = ρ * V = 1000 * 2 = 2 тис. кг.
Вага витісненої води, тобто Архімедова сила, рівні:
P = Fa = g * m = 9,8 * 2000 = 19600 Н.
Завдання 2. Потрібно визначити кількість золота в короні, виготовленої зі сплаву срібла і золота. Вага виробу в повітрі – 2,54 кг. Зважування у воді показало результат 2,34 кг.
Рішення. На предмет, занурений у воду, діє Архімедова сила:
Fa = gρV = P₁ – P₂
де
- P₁ – вага корони в повітрі,
- P₂ – вага коштовності у воді,
- ρ — щільність води.
Загальний об’єм предмета складається з об’ємів золота і срібла:
V = m₁/ρ₁ + m₂/ρ₂
де
- m₁ і ρ₁ – відповідно маса і щільність золота;
- m ρ і ρ₂ – маса і щільність срібла.
Оскільки маса є приватним від ділення ваги на коефіцієнт g, то загальний об’єм корони можна представити формулою:
V = m₁/ρ₁ + 1/ρ₂ * (P₁/g — m₁),
де
- вираз (P₁/g — m₁) = M₂.
Застосування статичного закону Архімеда
Значення об’єму V підставляється в рівняння закону Архімеда:
Fa = g * ρ * (m₁/ρ₁ + 1/ρ₂ * (P₁/g — m₁)) = P₁ – P₂.
Шляхом математичних перетворень визначається m₁:
m₁ = (P₁* (1 — ρ/ρ₂) — P₂)/(g * ρ * (1/ρ₁ – 1/ρ₂)).
Підставивши числові значення коефіцієнтів і ваги корони, отримуємо відповідь: m₁ = 985 г
В цей час з арабської мови переводяться праці мусульманських вчених, досконально вивчили роботи давньогрецького математика. У XVI столітті методи великого дослідника природи використовував Галілей. Відкриття, зроблені Архімедом, послужили фундаментом для розвитку середньовічної механіки.
