Умови рівноваги тіл — види, формули, приклади

Розділ механіки, що вивчає умови рівноваги тіл, називають статикою, а її методи використовуються в самих різних областях діяльності людини.

Архітектори та інженери розраховують сили, що діють на всілякі конструкції, а знання про поведінку м’язів дозволяє лікувати травми. Тому важливим у фізиці є розуміння умов, що забезпечують тілу стан спокою, вміння розрахунку діючих сил. При цьому єдиного способу вирішення завдань не існує.

Загальні відомості

Статика – це наука, що вивчає сили, при яких положення тіла не змінюється в просторі. Така ситуація називається рівновагою.

Особливість тіл, що знаходяться в стані спокою, полягає в тому, що в такому стані вони не володіють прискоренням і швидкістю, а результуюча сила і момент дорівнюють нулю. Тому і здається, що на тіло не виявляється ніякого впливу, але насправді це не так.

У загальному сенсі під рівновагою розуміють стан, який може зберігатися скільки завгодно довго, якщо немає зовнішніх впливів. Це твердження справедливе для будь-якого виду стану спокою, наприклад:

• механічного;
• теплового;
• економічного;
• політичного тощо.

У механіці стан руху фізичної точки описує швидкість. Якщо вона не змінюється, то параметр завжди постійний. Значить, під механічною рівновагою можна розуміти стан прямолінійного рівномірного руху. Наприклад, обертове колесо, яке крутиться на осі без урахування сил тертя.

При впливі різних сил на матеріальну точку об’єкт може поводитися трояко. Відповідно до цього розрізняють три види реакції фізичного тіла на спробу вивести його з цього положення:

• Стійке – після закінчення впливу виникають сили, які повертають об’єкт в початковий стан. Наприклад, жолоб з кулькою. У вихідному положенні на об’єкт діє сила тяжіння і нормального тиску (пружність лунки), що спрямовані в протилежні сторони. Якщо кулю перемістити, то кут між впливами зміниться. Їх рівнодіюча сила не буде нульовою, а її напрямок змусить тіло повернутися в початковий стан.
• Нестійке – рівновага при малому відхиленні, від якого виникають сили, що видаляють тіло від положення спокою. Наприклад, куля, що знаходиться на вершині опуклої поверхні. Якщо тіло зрушити, то рівнодіюча стане спрямованою від початкового стану, а тіло скотиться.
• Байдуже – випадок, при якому не виникають сили, що наближають або віддаляють матеріальну точку. Наприклад, горизонтальна тверда поверхня.

Слід зазначити, що для того, щоб дізнатися, який вид рівноваги притаманний ситуації, необхідно вивести об’єкт з положення спокою. При цьому першорядним завданням статики є вивчення умов, які призводять до одного з трьох станів тіла та їх математичний опис.

Центр ваги і умови рівноваги

Найпростішим випадком, при якому матеріальна точка знаходиться в рівновазі, буде той, коли немає обертання, а розмірами тіла можна знехтувати. У цьому випадку прискорення дорівнює нулю: a = 0. З’ясувати умови рівноваги означає визначити сили, що діють. Згідно з другим законом Ньютона, їх рівнодіючу можна знайти з добутку маси на прискорення:

F = m * a

Звідси випливає, що в стані спокою F = 0.

Реальне тіло має певні розміри. Щоб визначити для такого випадку умову, необхідно розглянути найпростіший вид руху – поступальний.

Поступальним рухом називають переміщення, при якому всі точки в тілі рухаються однаково, тобто з однією і тією ж швидкістю. А це означає, що прискорення для всіх його частинок буде постійним і дорівнювати нулю.

Нехай є горизонтальна поверхня, на якій знаходиться, наприклад, візок. Через неї можна провести умовну пряму під будь-яким нахилом до горизонту. Місця перетину контурів тіла з побудованою лінією будуть точками A і B. До будь-якої з них можна прикласти силу F. Візок почне рухатися. Цю силу можна перенести уздовж лінії до іншої точки, не змінюючи напрямку, тобто змінити місце прикладення. В результаті ніяких змін не відбудеться.

Але попередніх двох умов мало, щоб можна було сформулювати достатні умови. Наприклад, нехай є олівець, що лежить на столі.

Сума сил, що діють на нього  дорівнює нулю, але при цьому він може обертатися. Значить, важливою умовою має бути відсутність кутового прискорення. Іншими словами, стан, при якому момент зовнішніх сил дорівнює нулю.

Таким чином, якщо тіло знаходиться в рівновазі, для нього повинні виконуватися три умови:

• рівнодіюча всіх сил, прикладених до об’єкта, дорівнює нулю: F = F₁ + F₂ + … + F_n = 0;
• дія сили не змінюється при перенесенні точки її прикладання вздовж лінії дії;
• об’єкт матиме нерухому вісь обертання лише тоді, коли алгебраїчна сума моментів діючих на нього сил щодо осі дорівнює нулю: M = M₁ + M₁ +…+ M_n = 0.

Перераховані умови є необхідними для знаходження тіла в стані рівноваги. Склавши систему з рівнянь, можна вирішувати завдання з трьома невідомими, чого часто виявляється більш ніж достатньо, особливо для шкільної програми.

Закріплена вісь обертання

Об’єкт не буде обертатися, якщо рівнодіюча прикладених до нього сил буде дорівнювати нулю. Нехай є тіло еліпсоїдної форми. Щоб воно не переміщалося поступально, необхідно домогтися однакового руху точок.

У предметі можна зробити отвір, який буде позначати вісь обертання. Тоді центри переміщення точок знаходяться на цій лінії.

До довільно взятого місця A можна прикласти силу F. Тіло почне повертатися до тих пір, поки не настане ситуація, при якій лінія дії F почне проходити через вісь. Тоді обертання припиниться. Тобто відбудеться компенсування реакцією осі. Крім того, ці дві дії не тільки лежать на одній лінії, але і рівні по модулю.

З другого умови рівноваги випливає, що силу можна переміщати уздовж осі. Якщо це зробити, то до протилежної точки A буде прикладено дві сили. Вони будуть рівні за величиною, але протилежні за напрямком. Ця пара діє на закріплену вісь, тому предмет, необов’язково еліпсоїдної форми, обертатися не буде.

Таким чином, тіло будь-якого розміру і маси із закріпленою віссю буде перебувати в рівновазі, якщо лінія дії прикладеної до нього сили проходить через вісь.

Це проста ситуація. Але може трапитися так, що на тіло буде створюватись вплив одночасно з декількох сторін. Причому вони будуть прикладені до різних місць тіла. В цьому випадку, як і в першому, все одно можна буде підібрати таку силу, яка буде діяти, як всі існуючі.

Значить, узагальнене визначення можна сформулювати так: тіло із закріпленою віссю обертання буде перебувати в рівновазі, якщо лінія дії рівнодіючої прикладених впливів проходить через вісь.

Але насправді цим правилом користуватися незручно, оскільки часто знайти спільну дію буває досить складно. Тому використовують плече сили. Це найкоротша відстань до осі обертання. Фізично величина дорівнює добутку модуля дії на її плече і називається моментом. Описують її формулою:

M = F * d

де

• F — модуль,
• d — плече щодо осі обертання.

За одиницю виміру моменту приймають ньютон, помножений на метр (н * м). Причому ця величина може мати як позитивне, так і негативне значення. Вибір знака залежить від напрямку. Строгої вимоги немає, але в математиці обертання за годинниковою стрілкою вважають плюсовим, а проти — мінусовим.

Приклад розв’язання задач

Важливо не тільки знати теоретичний матеріал, а й вміти застосовувати його на практиці. Єдиного методу вирішення завдань в статиці не існує. У навчальних класах з фізики можна зустріти плакати, на яких зображений алгоритм обчислень, коли тіло знаходиться в інерціальній системі відліку (ІСО). Послідовність дій виглядає так:

• Треба вибрати одне тіло і зобразити на діаграмі всі діючі на нього сили і точки, до яких вони прикладені.
• Використовувати зручну систему координат, на якій можна розкласти сили на складові.
• Невідомі позначити буквами і скласти рівняння для суми всіх сил і моментів, прирівнявши їх до нуля.
• Вирішити систему, знайшовши потрібні величини.

Безсумнівно, найважчим буде перший крок. Ось один із прикладів розв’язання задачі середнього рівня складності.

Задача

Дано. Однорідна балка масою 1200 кг являє собою ваги. У конструкції прибрали середню опору, але поставили дві крайніх. На балку поклали механізм вагою 15 тонн.

Треба визначити силу, що діє на кожну з вертикальних опор. Довжина між колонами становить 20 м, а відстань від центру до вантажу дорівнює п’яти метрам.

Розв’язок. Спочатку слід розглянути сили, що діють на кінці балки. Вони будуть рівні за величиною дій, з якими кінці головного стрижня тиснуть на опори. Нехай це буде F₁ і F₂. Сила тяжіння балки прикладена до центру мас, тобто припадає на середину. Оскільки умова рівноваги для моментів можна записати щодо будь-якої точки, то зручніше взяти її в місці F₁. Оскільки в цьому випадку вона буде дорівнювати нулю через значення плеча, то залишиться тільки одна невідома — F₂.

Тоді умова ΣF = 0 буде виглядати так: -(10 м) * (1200 кг) * (g) — (15 м) * (15000 кг) * (g) + (20 м) * F₂ = 0. Звідси F₂ = (12000 кг) * (g) = 118000 H. Тепер силу F₁ можна обчислити з умови рівноваги: ΣFy = F₁ — (1200 кг) * (g) — (15000 кг) * (g) + F₂ = 0. Підставивши в отриманий вираз F₂ = (12000 кг) * (g), вірним буде запис: F₁ = (4200 кг) * (g) = 41200 Н. Завдання вирішене.

Таким чином, головне – правильно вибрати вісь обертання, тим самим зробити розрахунок простішим. Слід зазначити, що в інженерії деякі сили визначають за допомогою спеціальних датчиків напруги. Наприклад, п’єзоелектричні датчики і тензодатчики. Їх кріплять як на саму конструкцію, так і на її модель.