Одним з великих розділів фізики є кінематика. Вона з’ясовує способи переміщення предметів без встановлення причин, що їх викликали.
Якщо при русі зверху вниз об’єкт не зустрічає опір повітря, кажуть, що відбувається вільне падіння тіла. При цьому ще у XVI столітті було встановлено, що який би предмет не опускався, прискорення буде одне і те ж, причому цей рух буде називатися рівноприскореним.
Загальні відомості
Основоположником створення вчення про рух став Аристотель. Він стверджував, що швидкість падіння тіла залежить від його ваги. Значить, важкий предмет зможе долетіти до землі швидше, ніж легкий.
Але Галілео Галілей, відомий італійський винахідник і фізик, вивчаючи падіння різних предметів і їх інерцію, зміг спростувати припущення Аристотеля. Результати його досліджень були революційними в науці. При цьому навіть була випущена книга “Бесіди і математичні докази, що стосуються двох нових галузей науки, що належать до механіки і місцевого руху”, в якій були викладені основні роздуми Галілея.
У цей час проходило засідання Академії наук, на якому П’єр Варіньона не тільки дав визначення поняттям швидкість, прискорення, а й описав їх в диференціальному вигляді. Вже після Ампер використовував для вивчення процесів варіаційне числення.
Наочні досліди провів Лейбніц, а потім професор МДУ Любимов зміг продемонструвати появу невагомості при вільному падінні.
Під невагомістю розуміють стан тіла, при якому сили взаємодії з опорою, що існують через гравітаційне тяжіння, не створюють ніякого впливу. Такий стан трапляється , коли зовнішні сили, що впливають на тіло, можна охарактеризувати масовістю, наприклад, тяжіння.
В цьому випадку сили поля повідомляють всім частинкам предмета в будь-якому з його положень рівні по модулю і напрямки прискорення, або при русі виникають однакові по модулю швидкості всіх частинок тіла, наприклад, поступальний рух.
Таким чином, для існування вільного падіння потрібно виконання як мінімум двох умов:
- повна відсутність або мале значення опору середовища;
- дія лише однієї сили тяжіння.
Що цікаво, рух вгору теж вважається вільним падінням, попри зворотне інтуїтивне сприйняття. Тому траєкторія руху може мати форму як ділянки параболи, так і відрізка прямої, наприклад, камінь, кинутий з невеликої висоти або поверхні під будь-яким кутом.
Дослід Галілея
Падіння належить до реального руху. Будь-яка взаємодія з Землею призводить до зміни швидкості через прискорення, що виникає. У 1553 році італієць Джованні Бенедетті заявив, що 2 тіла з різною масою, але однакової форми, кинуті в одному середовищі за однаковий час пролетять рівні відстані. Це твердження потребувало доказу, оскільки суперечило загальноприйнятому на той момент часу розумінню процесів. Зокрема, висловлюванням Аристотеля.
Одним з експериментаторів став Галілей. Для проведення досвіду вченому знадобилося:
- стофунтове ядро;
- однофунтова куля.
Існує думка, що замість кулі вчений використовував мушкетну кулю. Експеримент полягав у наступному. Піднявши 2 предмети на Пізанську вежу, Галілей скинув їх одночасно. Люди, що спостерігали за дослідом, на власні очі змогли переконатися, що 2 тіла впали на землю одночасно.
Коли ж один з учнів Аристотеля дорікнув італійцю, що на такій малій висоті неможливо оцінити справжню різницю швидкостей, експериментатор відповів: «виконайте дослід самостійно і ви переконаєтесь, що важчий предмет випередить той, що легше, на 2 пальці. Тому коли перший впаде на землю, то другий буде від нього на відстані товщини двох пальців».
У своїх роботах Галілей міркував, що якщо зв’язати мотузкою 2 тіла різної тяжкості, то з великою вагою, на думку Аристотеля, предмет буде летіти швидше. Причому легший об’єкт почне сповільнювати падіння важчого. Але оскільки система в цілому важче, ніж окремо взяті тіла, падати вона повинна швидше найважчого тіла. Іншими словами, виникає суперечність, а значить, припущення про вплив ваги на швидкість падіння невірне.
Сьогодні експеримент, що підтверджує доводи Галілея, може провести самостійно кожна людина. Такий дослід часто демонструють у середніх класах загальноосвітньої школи. Для цього потрібно взяти 2 трубки, довжиною більше метра і помістити в них 2 кульки різної маси. Потім створити всередині вакуум і одночасно їх перевернути. Якщо всі умови дотримані вірно, то 2 тіла опустяться на дно ємностей одночасно.
Закон прискорення
Формула для вільного падіння була виведена з виразу, що визначає силу тяжіння:
F = M * g
Відповідно до цього закону, падіння предметів виконується з одним і тим же прискоренням незалежно від маси тіла. По суті, це окремий випадок рівноприскореного руху, що обумовлений силою тяжіння.
Для кількісного аналізу потрібно ввести систему координат, взявши початок біля поверхні Землі. Тоді можна розглянути падіння тіла масою m з висоти y0. Причому обертанням планети і опором повітряного середовища потрібно знехтувати.
Диференціальне рівняння матиме вигляд:
my = -mg
де:
- g – прискорення вільного падіння.
Саме ж диференціювання виконується за часом. При заданих початкових умовах y = y0 і беручи до уваги проєкцію швидкості на вертикальну вісь після інтегрування, залежність змінних від t набуде вигляду:
- v = v0 + gt;
- y = y0 + v0t — (gt2 / 2).
Як показали експерименти, якщо опору повітря немає, прискорення для будь-яких предметів, що летять, щодо землі складе 9,8м/с2. Формули, які використовуються при розрахунку величин, збігаються з виразами, справедливими для будь-якого рівноприскореного руху.
Наприклад, якщо тіло падає без початкової швидкості, його швидкість можна знайти за формулою: V2 = g * t, а висоту падіння визначити так: h = (gt2/2).
Причому через форму планети на екваторі воно становитиме 9,78 м/с2, а з протилежного боку — 9,832 м/с2. Щоб визначити значення в будь-якому місці, використовують нитяний маятник. Його період коливань визначається за формулою:
- T = 2P√(l/g)
де
- l — довжина нитки.
Значення сили тяжіння також залежить від будови земної кори і корисних копалин, що містяться в надрах. З урахуванням цього розраховуються гравітаційні аномалії:
Δg = g – gср
Наприклад, якщо g > gcp, то з великою ймовірністю в Землі містяться поклади залізної руди, в іншому випадку — нафти або газу.
Розв’язання задач
Вільно рухатися, тобто не відчувати дію сторонніх сил, можуть будь-які тіла в вакуумі. Але в реальності на них створюється вплив як атмосферними явищами, так і опором середовища. При розв’язанні задач враховується тільки сила тяжіння, а ось іншими явищами нехтують, вважаючи їх мізерно малими.
Ось деякі з типових завдань, що використовуються при навчанні в середньоосвітніх школах:
Задача 1
Дано. Дерев’яна бочка падає з 30 метрів. Яка буде її швидкість перед зіткненням із землею?
Рішення. Оскільки розглядається вільне падіння, то для вирішення потрібно використовувати формулу: v2 = 2 * g * h. Звідси, v = √(2 * g * h) = (2 * 9,81 м/с2 * 30 м) = 24,26 м/с.
Задача 2
Дано. Тіло вилітає вертикально вгору зі швидкістю 45 м/с. Якої висоти воно досягне перед зміною напрямку польоту і скільки для цього знадобиться часу.
Рішення. Для початку слід записати формулу швидкості: v = v0 – gt. Звідси можна розрахувати час польоту: t = v0/g = 45 / 9,8 = 4,6 c. Тепер можна визначити максимальну висоту: h = vot — (gt2/2) = 45 м/с * 4,6 с — 9,8 м/с2 * (4,6 c)2/2 = 207 м — 103,7 м = 103,3 м.
Задача 3
Дано. Камінь летить зі швидкістю 30 м/с. Треба знайти час, за який він досягне 25 метрів.
Рішення. Система рівнянь, що описує рух, буде виглядати так: h = v0t- (gt2/2); 25 = 30t — 5T2. Отримані рівняння в системі називаються квадратними, тому потрібно виразити одне з іншого і визначити корені: t2 — 6T + 5 = 0. В результаті має вийти час, рівний одній секунді.
Розглянуті завдання досить прості. Але є і підвищеної складності, що вимагають не тільки знання формул, а й вміння виконувати аналіз. Ось одне з таких.
Задача 4
Дано. М’яч кинули з гірки під кутом до горизонту. Через час, рівний t = 0,5 c він досягне найбільшої висоти, а в момент t2 = 2,5 він впаде. Треба визначити висоту гірки, прискорення падіння прийняти за g = 10 м/с2.
Рішення. Швидкість рухомого предмета можна уявити в координатній площині x і y. У горизонтальному напрямку сил, що впливають, немає. Рух рівномірний. Найбільша висота буде досягнута при h = H + v0y * t1- (gt21/2).
Вертикальну складову можна обчислити, керуючись геометричними принципами: v0y = v0 * sin (a). Враховуючи, що h = (gt2/2), для висоти гірки можна записати: H = (g * (t21 + t22)/2) — t1 * v0 sin (a).
Оскільки gt1 = v0 sin (a), то робоча формула набуде вигляду: H = (g * (t21 + t22)/2) — gt21. Після підстановки даних у відповіді повинна вийти висота, що дорівнює 30 метрам. Задача вирішена.
