Вимушені коливання — опис, умови виникнення, приклади

Мабуть, немає жодного дня в житті, коли б людина не стикалася з вимушеними коливаннями. Найяскравіший приклад таких коливань – це гойдалки. Щоб вони почали качатися, необхідно прикласти до них силу. При цьому для підтримки незгасаючого і періодично повторюваного руху потрібно забезпечити приплив зовнішньої енергії. Лише в цьому випадку можна позбутися від загасання і компенсувати тертя.

Загальні відомості

Одним зі станів тіла може бути його знаходження в точці рівноваги. Вивести фізичний об’єкт з нього можливо шляхом впливу певного напрямку. Іншими словами, приклавши силу. В результаті тіло може не тільки змінити своє положення, але і прагнення повернутися до вихідного. Наприклад, годинний маятник. Сила стиснення пружини або електромагнітне поле змушує відхилятися його від вертикального положення у 2 сторони.

Процес, при якому зміна стану щодо точки рівноваги повторюється в часі, називають коливальним. Він завжди пов’язаний з перетворенням енергії з однієї форми в іншу.

За своєю суттю вони нагадують поширення хвиль в природі, тому їх вивченням займається хвильова і коливальна теорія. Єдина відмінність між ними, що при виникненні хвилі відбувається перенесення енергії.

Існує 3 види основних коливань:

• Вільні – створені напругою внутрішніх сил після виведення зі стану рівноваги будь-яким шляхом. Це явище завжди згасаюче, тобто з плином часу система повертається в початкове положення. Наприклад, тягарець, підвішений на нитки, стискання і розтискання пружини.
• Вимушені – підтримувані коливання певною силою періодичного впливу. Наприклад, положення рук при ходьбі.
• Автоколивання – рух системи, яка володіє запасом потенційної енергії. Наприклад, механічний годинник. Відмінною рисою є відхід від положення рівноваги через властивості системи, а не вихідних умов.

Практично 95% періодичного руху становлять вільні і вимушені коливання.

Як і будь-яке явище, вони характеризуються рядом параметрів. Основні – амплітуда і частота. Перший параметри визначає найбільше відхилення від початкового положення, а другий позначає число коливань за одиницю часу. Зворотною величиною частоти є період. Він показує, через який час показники системи будуть повторюватися.

Коливання поділяють на:

• гармонійні;
• релаксаційні.

Перші можна описати за допомогою тригонометричних функцій – косинуса або синуса, тобто вони є плавними на відміну від релаксаційних, що супроводжуються прискоренням або уповільненням.

Зображення та опис

Найбільш наочним способом зображення коливань є графік функцій, що описує зміну. Для підтримки періодичності потрібна зовнішня сила. Підпорядковується вона різним законам. У найпростішому випадку правило має гармонійний вигляд. Наприклад, зміну сили можна описати функцією:

f = F₀ * cos (wt)

Щоб скласти рівняння руху, крім змушуючої дії, потрібно враховувати 2 інші сили: квазіупружну та опору. Перша спрямована до центру і пропорційна відстані від середини до місця застосування:

F = c * r

де

• c — постійна складова.

При цьому тіло отримує потенційну енергію:

Ep = 1/(2 * c * r²)

Друга ж характеризується фізичною густиною середовища, де відбувається коливання.

Якщо прийняти відхилення від рівноваги за незначне, сила опору буде прямо пропорційна швидкості. В такому випадку рівняння можна переписати:

mx = -kx-rx + F₀ * cos (wt)

Скоротивши обидві частини рівності на cx, можна отримати неоднорідне рівняння лінійного виду:

x + 2BX + w²x = f*cos (wt)

де

• f = F/m — частота;
• b = r/2M — коефіцієнт загасання;
• w = √(k/m) — частота коливань

Рішення рівності матиме вигляд:

x = a * cos (wt — φ).

Зобразити гармонійне коливання, що описується за формулою x (T) = A * cos (wt+φ) зручно, використовуючи векторну діаграму. Для цього потрібно виконати наступне:

• Побудувати вісь y та x.
• Зобразити вектор, довжина якого буде дорівнювати A. При цьому він повинен утворювати з віссю x кут φ.
• Позитивний кут відкласти проти руху годинникової стрілки.
• Визначити проєкції вектора на осі абсциси і ординати. Ними будуть функції: y = a * sin (φ) і x = A * cos (φ).

Обертання вектора визначається двома функціями:

y (t) = A * sin (wt*φ) та x (t) = A * cos (wt + φ).

Вимушене коливання можна представити у вигляді зміни проєкції на координатні лінії якогось вектора A. Причому модуль дорівнює амплітуді і обертається зі швидкістю φ, утворюючи у вихідний момент часу з віссю y φ₀.

Крім векторного способу, для опису коливань застосовують метод, що називається фазовою площиною. Його суть полягає у використанні величини x (t) та її першої похідної. В цьому випадку рух представляють у вигляді системи:

• x (t) = a*cos (wt + φ);
• x'(t) = -a w 0*sin (wt + φ).

За своїм змістом ці 2 рівняння описують параметричний рух по еліпсу. Точка буде рухатися по ньому і піввісям:

• a = A;
• b = Aw.

Явище резонансу

При коливаннях може наступити момент наближення частоти змушувального впливу до власної частоти руху системи. У цьому випадку фізики кажуть, що встановився резонанс. Іншими словами, відбувається амплітудне зростання вимушених коливань при рівності циклічної частоти, яку називають резонансною. На графіку залежностей a від w крива, що описує явище, має найбільшу величину.

Амплітуду можна обчислити за формулою:

A = F/2 gm √(w² — g)

де

• g — коефіцієнт загасання, тобто чим більше g, тим більше буде зрушений максимум до нульової позначки на графіку.

Краще проявляється резонанс в системах, що характеризуються малим загасанням. В іншому випадку циклічна частота буде уявною, а амплітуда — монотонно зменшуватися.

Описувати коливальну систему можна через добротність (Q). Ця величина визначається з відношення енергії, яку вдалося накопичити, до значення її витрати за один період. За допомогою цього параметра визначають якість, оскільки чим добротність більше, тим менше система втрачає енергію. Для будь-якого механічного періодичного руху її можна обчислити так:

Q = √ (m * k)/r = (w * m)/r

де

• m – маса системи;
• k – жорсткість;
• r – опір.

Як небажаний приклад резонансу при вимушених коливаннях можна привести роботу двигуна внутрішнього згоряння. У ньому є колінчастий вал, на який впливає шатун. При цьому період зміни сил залежить від кутової швидкості обертання валу. Коливання, що утворюються, при резонансі призводять до підвищення напруги осі і надалі викликають її поламання, тому для боротьби з резонансом використовують різні поглинальні матеріали.

За допомогою резонансу можна виділити або навіть посилити досить слабкі періодичні коливання. У радіотехніці його використовують для отримання корисного сигналу та посилення звуку.

Що цікаво, вперше про резонанс заговорив Галілео Галілей в 1602 році, досліджуючи рухи маятників і музичних струн. Він припустив, що резонанс — це відгук на силу ззовні, при якому відбувається синхронізація частот коливань з зовнішніми силами, що впливають на неї. Це явище призводить до зростання амплітуди руху всієї системи.

Ширина кривої

При резонансі амплітуда коливань максимальна. Отже, і енергія, запасена системою, буде найбільшою. Вона може бути рівною:

E = (½) * (mw²A²)

Звідси випливає, що резонансну енергію можливо обчислити за формулою:

:E = (½) * (mw² * А_рез²)

причому

А_рез = F/(m * 2W)

Варто тільки змінити частоту змушувальної сили, тобто її зменшити або збільшити, і амплітуда коливань різко впаде. Якщо система буде високодобротною, то при невеликому зміщенні енергія зменшиться.

Нехай w₁ і w₂ частоти, на яких E буде становити половину від значення, властивого резонансу. Тоді можна скласти систему з двох рівнянь:

• E (w1) = (1/2) * (m * w1² * A²(w1));
• E (w2) = (1/2) * (m * w2²* A²(w2)).

Вирази A²(w1) і A²(w2) є амплітудами при відбудові від резонансу. Зв’язок їх з A(w) буде наступним

(1/2) * (m * w12² * A²(w12) = (1/2) * (1 / 2) * (m * w0² * А²рез).

В отриманій рівності можна скоротити маси, число ½ і враховуючи, що при високій добротності w1 ≈ w2 ≈ w0, прибрати з формули частоти. У підсумку вийде рівняння:

A² (w12) = (½) * А_рез

Після вилучення кореня залежність набуде вигляду:

• A (w1) = (1/√2) * А_рез;
• A (w1) = (1/√2) * А_рез.

Різниця w1 і w2 буде називатися половинчастою шириною резонансної кривої, тобто коефіцієнт загасань можна знайти як a = Δw/2.

Вимірявши ширину кривої, можна дізнатися фундаментальну характеристику коливальної системи – коефіцієнт загасання.

Через це визначення легко обчислити і добротність. Вона дорівнює:

Q = w0/2a

Щоб її знайти, необхідно центральну частоту розділити на ширину резонансної кривої:

Q = w0/Δw

Виходить, що чим вище буде добротність коливальної системи, тим вже резонансніша крива.

Як приклад вимушених коливань механічного типу можна привести язичковий частотомір. Це прилад, робота якого заснована на використанні резонансу. Пристрій складається з електромагніта, над яким розташовуються металеві пластини, що різні по довжині. Під дією поля вони починають коливатися. У мережі частота струму 50 Гц, якщо створюється змушувальна сила на 100 Гц, язичок, налаштований на це значення, починає резонувати.

Електромагнітний резонанс дозволяє виділяти радіостанцію.

Ще з яскравих прикладів вимушених коливань можна відзначити:

• рух мембрани телефону;
• хід голки швейної машинки і поршня в циліндрі автомобіля;
• компенсацію збуджень авто, що їде нерівною дорогою коштом ресори;
• океанічні припливи під дією Місяця.