Математичні основи інформатики

Вивчення математичних основ інформатики дає величезні переваги у виборі професії у сфері інформаційних технологій. Уміння застосовується не тільки в програмуванні, але і при проєктуванні різних пристроїв і вузлів для персональних комп’ютерів, а також портативних пристроїв (планшетів, ноутбуків, нетбуків і телефонів). Однак для початку потрібно зрозуміти теоретичні аспекти дисципліни.

Загальні відомості

Вивчення будь-якої дисципліни починається з теорії, і інформатика не є винятком. Математичні основи інформатики у 8 класі вивчаються докладно. До них відносяться напрямки:

• Математична логіка.
• Обчислювальна фізико-математична дисципліна (обчислювальна алгебра).
• Кодування інформації і переклад з однієї системи числення в іншу.
• Основи теорії моделювання.
• Методика прийняття рішень.

Щоб розкрити суть дисципліни, потрібно детально розібрати всі компоненти, що входять до її складу. На підставі отриманих знань фахівці рекомендують скласти кросворд “математичні основи інформатики” для підвищення інтересу учнів до предмета.

Математична логіка

Математична логіка – це розділ математичної інформатики, який займається вивченням побудови різних логічних елементів, що входять до складу пристроїв будь-якої комп’ютерної техніки. У компонента існує й інша назва – булева алгебра.

Онови булевої алгебри повинен знати кожен, оскільки вона застосовується для побудови різних алгоритмів та логічних конструкцій.

У математичної логіки існують інструменти, які вивчаються окремо, як самостійні дисципліни. До них відносяться:

• Теоретичні основи алгоритмів.
• Системи паралельних обчислень.
• Теоретичні основи автоматики.

Перша вивчає різні методи побудови алгоритмів. Вона застосовується для швидкого вирішення завдань з початковими умовами. Друга детально розглядає принципи побудови різних систем, що істотно оптимізують обчислювальний процес. На базі цього створюються нові багатозадачні операційні системи, програмні продукти для обробки зображень, відео та ігрові платформи, що надають значне навантаження на мікропроцесор, співпроцесор та відеокарту.

Остання дисципліна застосовується для автоматизації розрахунків і обробки інформації, вивчення нових напрямків в комп’ютерній індустрії. Вона використовується для створення високопродуктивних комп’ютерів і портативних обчислювальних пристроїв (планшетів і телефонів).

Обчислювальна алгебра

Обчислювальна математика — це дисципліна, що складається з алгоритмів і програмного забезпечення для вирішення різних завдань на персональному комп’ютері. Вона описує всі процеси, на підставі яких будуються різні моделі, використовувані в ігровій індустрії.

Дисципліна використовується для інженерних і наукових розрахунків. Це база прикладних природничих наук, тобто обчислювальна фізика, хімія, біологія.

Ідеологія виникнення обчислювальної математики виникла ще в Месопотамії. Вона використовувалася для визначення кореня квадратного рівняння і аналізу траєкторії небесних тіл.

Потім з’явилися таблиці, що дозволяють обчислювати деякі функції з точністю до 16 знаків після коми, логарифмічна лінійка, арифмометри. Пізніше в XX столітті був винайдений комп’ютер. З його допомогою можна було виконувати безліч обчислень. Для цієї мети виникла необхідність написання програмного забезпечення для ведення розрахунків.

Відмінність обчислювальної математики від звичайної полягає в системах числення. Машини використовують двійкову, вісімкову і шістнадцяткову. Це пов’язано з першими комп’ютерами, в яких кодування інформації відбувалося за допомогою індукції котушок (є індуктивність — 1, немає — 0).

Одиницею вимірювання інформації є біт. Послідовність з 8 останніх називається байтом.

Пізніше з винаходом напівпровідникових транзисторів розміри електронно-обчилювальних машин (ЕОМ) помітно зменшилися. У сучасних комп’ютерах застосовуються інтегральні мікросхеми. Останні складаються з безлічі транзисторів, нанесених методом напилення під мікроскопом. Детальніше про це можна прочитати в керівництві по інтегральних мікросхемах, в різних довідниках по цифровим логічним елементам і т. д.

Кодування даних

Методи кодування даних на комп’ютері вивчає дисципліна, яка називається математичною основою інформації. Засоби обчислювальної техніки не працюють безпосередньо з десятковою системою числення.

Для початку необхідно розглянути класифікацію СІ:

• Десяткова система числення.
• Двійкова.
• Вісімковиа.
• Шістнадцяткова.

Перша застосовується в повсякденному житті. Вона складається з безлічі дійсних чисел, які позначаються літерою “R”. До неї належать цілі і дробові значення. Позначається в інформатиці число в десятковій системі наступним чином: [23]{10}.

Друга, третя і четверта застосовуються в обчислювальній техніці для кодування інформації. У вторинній існує тільки 2 значення: 0 або 1. Величина записується наступним чином: [0001011001]{2}. Слід зазначити, що іноді запис “{2}” можна опускати, оскільки вісімкова і шістнадцяткова записується зовсім іншим способом.

У вісімковій всього 8 цифр, тобто від 0 до 7. Для представлення величини в цій формі потрібно десяткове число перевести у двійкове, а потім, скориставшись певною методикою, конвертувати в шукане значення.

Інакше йдуть справи з шістнадцятковою системою числення. Вона складається з цифр від 0 до 9, а також літер, що позначають певне число, тобто A=10, B=11, C=12, D=13, E=14 і F=15. Однак для отримання шуканого значення також потрібна певна методика.

Робота з двійковою системою числення

Існують певні методики прямої і зворотної конвертації. З двійкової в десяткову вона здійснюється за такою методикою:

• Записується число: 000101111.
• Читається справа наліво.

Розписуються і складаються ступені:

0000111101=2⁰+0¹+2²+2³+2⁴+2⁵+0⁶+0⁷+0⁸+0⁹=1+4+8+16+32=[61]{10}.

Алгоритм виконання зворотної операції є досить складним. Він полягає в підборі величин. Наприклад, необхідно перевести 61 у двійкову систему. Для цього потрібно слідувати наступній методиці:

• Написати вихідне число 61.
• Розділити його на 2, вказавши залишок: 61/2 (1).
• 30/2 (0).
• 15/2 (1).
• 7/2 (1).
• 3/2 (1).
• (1), скільки число є непарним.
• Результат записується зліва направо: 111101.

Виконати конвертацію можна і іншим методом. Він складається з наступних кроків:

• Записати значення: 61.
• Підібрати максимальне значення: 2⁶=64>61 (не підходить, оскільки не повинно перевищувати вихідну величину). Взяти 2⁵=32<61.
• Обчислити наступне число: 61-32=29.
• Наступне максимальне число: 2⁴=16<29.
• Різниця: 29-16=13.
• 2³=8: 13-8=5.
• 2²=4: 5-4=1.
• 2¹: Ні, тому що залишок 1.
• 2⁰=1.

Відповідь: 111101.

Для вирішення можна використовувати спеціальні сервіси. Однак фахівці рекомендують їх застосовувати тільки для перевірки результату, оскільки на початкових етапах навчання потрібно зрозуміти сам принцип і алгоритм конвертації.

Дії з вісімковою системою

Для конвертації значення десяткової форми в вісімкову потрібно скористатися попереднім алгоритмом, а потім розбити величину на тріади:

• Перевести значення з десяткової у двійкову форму: 1111101.
• Розбити на тріади, починаючи з одиниць: {111} {101}.
• Перекласти тріади: 111=2⁰+2¹+2²=1+2+4=7 і 101=2⁰+2²=4+1=5.
• Результат: 75{8}.

При невідповідності кількості розрядів можна додавати нулі, тобто. 1000111000={001}{000}{111}{000}=1070{8}. Алгоритм зворотного переводу будується на розкладанні кожного елемента в тріади. Реалізується він таким чином:

• Записується число: 7207{8}.
• Представляється кожен елемент у вигляді тріад, тобто.{111}{010}{000}{111}.
• Шуканий результат еквівалентний величині у двійковій формі: 111010000111.

За допомогою вісімкового запису кодуються деякі повідомлення, канали зв’язку, інформація про клієнта.

Конвертація в шістнадцяткову

Операція перетворення в шістнадцяткову схожа на попередню (вісімкову), але розряди збираються не в тріади, а по 4 елементи. Крім того, вводяться позначення A, B, C, D, E і F.

Для операції застосовується певний алгоритм:

• Перевести у двійковий код: 111010011101111.
• Розподілити по 4 елементи: {0111}{0100}{1110}{1111}.
• Записати результат: {0111}=7, {0100}=4, {1110}=14=E і {1111}=15=F.

Відповідь: 74EF.

Зворотна операція виконується також за певною методикою:

• Написати число: 74EF.
• Розписати кожен елемент окремо: 7={0111}, 4={0100}, E={1110} і F={1111}.
• Записати результат, прибравши фігурні дужки: 111010011101111.

На підставі шістнадцяткової системи Клод Шеннон придумав алгоритм шифрування – md5-хеш і отримав за це премію Тьюринга. Пізніше Ларічев запропонував використовувати для підвищення безпеки пароля перевіркове слово. Останнє шифрується разом з паролем.

В результаті цього зламати останній дуже проблематично. Наприклад, пароль – 12546, а контрольне слово — людожер. При їх комбінації генерується пароль, який записується в базу даних сервера. Якщо узагальнити процедуру шифрування, отримати доступ неможливо.

Теорія моделювання

Моделювання – це напрям в математичній інформатиці, який вивчає моделі різних об’єктів і використовує формули для їх опису. При цьому модель прагнуть наблизити до оригіналу за функціональними можливостями. Історія виникнення напряму пов’язана з Месопотамією, де були зроблені спроби створити ідеальну модель для вирішення квадратних рівнянь.

Моделювання ділиться на 2 основних напрямки. До них можна віднести наступні:

• Імітаційний. Відбувається вивчення і моделювання фізичних процесів. Далі відбувається запис в математичному вигляді. Цей прийом отримав широке застосування в області ігрової індустрії.
• Масове обслуговування. Моделюються системи передачі та обробки великих обсягів інформації. Цей прийом використовується при виготовленні прототипів нових моделей мікропроцесорів, спецпроцесів та інших вузлів обчислювальних пристроїв.

Проектування моделі повинно складатися з інформативних блоків, тобто докладного опису процесів або явищ. Розробник повинен вміти узагальнювати весь матеріал, використовуючи статистику, формули, теорію ймовірності та фізико-математичні закони.

Методика прийняття рішень

Теорія прийняття рішень – ценайважливіша дисципліна, яка використовується при проєктуванні різних логічних пристроїв. Вона включає до свого складу:

• Дослідження операцій.
• Теорія ігор.

У першому випадку відбувається докладний аналіз на наявність помилок, а також доповнення алгоритмів і методик, що дозволяють отримувати правильні рішення певного класу завдань.

Теорія ігор вивчає варіанти поведінки персонажів і навколишнього ігрового світу.

Величезний внесок в математичний опис теорії ігор зробив Д. Неш. Премія в галузі економіки і постійне прагнення до самовдосконалення дозволили математику заснувати початкові постулати аналізу стратегії створення ігрових платформ.

Таким чином, основи інформатики складаються з ряду напрямків, які будуть корисні для початківця розробника програмного забезпечення будь-якої складності.