Системи числення — визначення і приклади

Переклад команд користувача на зрозумілу для електронно-обчислювальної машини мову здійснюється за допомогою деякого набору символів, який записується за певними правилами системи числення.

Прикладами в інформатиці є двійкові, вісімкові і шістнадцяткові форми представлення значень. Для правильної роботи з ними існують спеціальні алгоритми (методики) конвертації.

Загальні відомості

Числа записують за допомогою певних математичних символів, значення яких залежить від системи числення (форми подання). Останньою називається метод запису числа за допомогою певної сукупності знакових елементів-цифр.

Не всі учні розуміють відмінність цифри від числового значення. У підручнику з інформатики для 9 класу можна зустріти і таке визначення: системи числення — набір символів, який використовується для позначення цифр.

Цифра – це певний математичний символ, який вказує на конкретну величину. Вони складають число, а їх розташування називається розрядною сіткою.

Цифри класифікуються на 2 види:

• арабські;
• римські.

Перші застосовуються для усного рахунку і представлені діапазоном від 0 до 9, який називається десятковою формою подання. Римські мають інші позначення.

Ось розшифровка деяких з них, яку можна перерахувати у вигляді наступних символів:

Класифікація систем числення

Залежно від значень символів при їх розташуванні, системи представлення значень класифікуються на 4 види. Останні бувають:

• Позиційні.
• Непозиційні.
• Унарні.
• Змішані.

У позиційному розташуванні цифри в розрядній сітці впливає на значення числа. Наприклад, дано певний параметр 12345. Якщо поміняти символи місцями, вийде зовсім інша величина. У цьому легко переконатися, скориставшись звичайним калькулятором.

Дослід виконується у 2 етапи:

• На калькуляторі треба виконати операцію віднімання двох чисел: 12345-12345=0.
• Змінити положення математичних символів: 12543.
• Відняти від вихідної величини іншу, отриману в другому пункті: 12345-12543=-198.

Результат, отриманий в останньому пункті, свідчить, що зміна розташування цифр впливає на кількісні характеристики числа.

Прикладом непозиційної системи числення є звичайний масив даних, який будується на поданні “ключ -> значення”. В програмуванні його називають асоціативним. Розташування його елементів не має значення, оскільки звернення до кожного з них здійснюється при вказівці відповідного ключа.

Наприклад, є масив виду: login -> Petro102000, password ->1245ercdrg, email – >petro102000@gmail.com. Щоб дізнатися ім’я користувача, потрібно звернутися до ключа “login”. Іншими словами, непозиційна форма подання – це набір математичних символів, від положення яких не залежить результат виконання операції.

Унарна класифікація – це система числення, елемент якої еквівалентний 1. Як приклад можна привести навчання рахунку в початкових класах за допомогою паличок. Під час виконання будь-яких робіт з підрахунку компонентів вона також використовується. Людина малює хрестик, паличку або інший символ, а потім рахує їх загальну кількість.

Змішаний тип може охоплювати всі 3 системи або 2. Він застосовується для підрахунку грошей, а основними елементами є монети і купюри.

Позиційні форми подання

Позиційні системи представлення чисельних величин використовуються не тільки для усного рахунку, розрахунків, а й в інформаційно-комунікаційних технологіях (ІКТ). Персональний комп’ютер переводить десяткове число у двійкову, вісімкову і шістнадцяткову систему (рідше в трійкову і п’ятіркову).

Основною є двійкова, оскільки з цього подання за допомогою різних методик числа переводяться в інші системи числення. Для кожної операції існує певний алгоритм, якого фахівці рекомендують дотримуватися.

Щоб визначити основу системи числення, потрібно уважно розглянути число. Воно вказується у вигляді нижнього індексу або фігурними дужками. Наприклад, A281F{16}, 0111101100{2}, 253{8}. Однак в першому випадку його можна не вказувати, оскільки і так зрозуміло, що це шістнадцяткова форма запису величини (використовуються елементи англійського алфавіту).

Двійковий код можна записувати без фігурних дужок, тому що він відрізняється від вісімкової системи числення, п’ятіркової та інших уявлень чисел. Якщо мова йде про вісімкову, у фігурних дужках вказується 8.

Існує також поняття потужності систем інформаційного обчислення. Ця характеристика показує, яку кількість даних можна закодувати. Наприклад, картинки кодуються за допомогою набору символів шістнадцяткової форми числення, що має більший, в порівнянні з іншими, параметр потужності.

Робота з двійковим кодом

Двійковий код складається з 0 і 1, що досить просто реалізувати в різноманітних електронних пристроях. Кодування здійснюється наявністю або відсутністю електромагнітного поля, закритим або відкритим переходом напівпровідникового транзистора. У цьому випадку простежується зв’язок інформатики та обчислювальної техніки з фізикою.

Для конвертації десяткової форми у двійкову застосовуються 2 способи. До них відносяться:

• Ділення в стовпчик.
• Аналіз ступенів.

Новачкові у сфері IT необхідно знати алгоритм конвертації двійкового коду в десятковий і зворотну операцію.

Методика для ділення в стовпчик (перетворення у двійкову форму) має наступний вигляд:

• Написати десяткове число: 117.
• Виконати ділення на 2: 117/2=58 (1).
• 58/2=29(0).
• 29/2=14(1).
• 14/2=7(0).
• 7/2=3(1).
• 3/2=1(1).
• Перший розряд: 1 (залишок).
• Результат виконання (знизу вгору): 1110101.

Зворотна конвертація з двійкового коду в десяткову форму має трохи іншу методику.

Суть її полягає в наступному:

• Запис двійкової форми: 1110101.
• Підсумовування за розрядами (зліва направо): 1+4+16+32+64=117{10}.

Наступний спосіб конвертації десяткової форми у двійкову називається статечним. Суть його в тому, що потрібно складати спеціальну таблицю:

Методика перетворення будується за певним алгоритмом. Останній має такий вигляд:

• Записати величину в десятковій формі.
• Визначити максимальне значення.
• Написати 1 у відповідну позицію розрядної сітки.
• Відняти число, записане в другому пункті, від початкового значення.
• Виконати всі дії у 2, 3 і 4 пунктах в суворій послідовності.
• Записати остаточний результат.

Щоб зрозуміти методику конвертації за допомогою статечного способу, потрібно розібрати її реалізацію на практичному прикладі:

• Десяткова форма: 117.
• Максимум: по таблиці 1 – 2⁶ (Запис 1).
• Різниця: 117-2⁶=53.
• MAX: 2⁵=32 (1).
• 53-32=21.
• MAX: 2⁴ (1).
• 21-16=5.
• MAX: 2²=4 (1).
• MAX: 2⁰ (1).
• Результат: 1110101.

Кожен учень повинен сам вибрати для себе оптимальний спосіб. Для перевірки можна скористатися спеціальним калькулятором або веб-додатком для конвертації з однієї системи представлення величини в іншу.

Вісімковий запис

Переведення у вісімкову форму з десяткової здійснюється через двійковий код. Після чого елементи розрядної сітки групуються по тріадах, а потім вираховується результат.

Щоб привести число до вісімкової форми, потрібно використовувати наступний алгоритм:

• Написати шукане число.
• Перевести у двійковий код одним із способів.
• Згрупувати по 3 розряди.
• Розписати кожну групу, привласнюючи їй певну величину.
• Записати шукане значення.

Для використання алгоритму необхідно розібрати приклад перетворення числа 117 у вісімковий код. Це робиться таким чином:

• Шукане значення: 117.
• Двійковий код: 1110101.
• Групування (якщо не вистачає розрядів, потрібно дописати нулі): {001}{110}{101}.
• Результат: 165{8}.

Алгоритм зворотного перетворення будується на конвертації спочатку у двійкову, а потім в десяткову форму.

Він має наступний вигляд:

• Написати число: 165{8}.
• Розбити по розрядах: {1}{6}{5}.
• Перевести у двійкове представлення: {001}{110}{101}=1110101.
• Переведення в десяткову систему: 117.

Конвертація перевіряється за допомогою різних онлайн-сервісів або калькулятора. Вісімкова система позиційного числення володіє більшою потужністю, ніж двійкова.

Шістнадцятковий формат

Для виконання переведення десяткового числа в шістнадцяткове (її також можна назвати HEX-уявлення) існує певна методика, схожа на попередню (вісімкову), але має деякі відмінності. Останні полягають у виділенні тетрад (4 елементи), а також розширення кількості математичних символів (від 0 до 9, А = 10, в = 11, С = 12, D = 13, Е = 14 і F = 15).

Алгоритм має наступний вигляд:

• Переведення десяткової форми у двійкову.
• Згрупувати розряди по 4 елементи. Якщо в якійсь групі не вистачає цифр, потрібно дописати нулі.
• Написати числа для кожної групи.
• Записати остаточний результат.

Для повного розуміння методики конвертації потрібно розібрати практичний приклад. Реалізація алгоритму виглядає наступним чином:

• Записати число: 117.
• Написати двійкову форму: 1110101.
• Утворити тетради: {0111}{0101}.
• Значення для кожної групи: 11=В і 5=5.
• Результат: B5.

Зворотна методика перетворення будується на переведенні у двійкову форму, а потім в десяткову.

Вона має такий вигляд:

• Записати шістнадцяткову величину: B5.
• Розписати кожен елемент: B{16}=0111 та 5{16}=0101.
• Переведення у десяткову систему: 117.

У другому пункті фахівці рекомендують вказувати основу, тому що цей прийом допоможе уникнути помилок при конвертації. Крім того, результат необхідно перевіряти за допомогою веб-сервісу або спеціального калькулятора.

Таким чином, системи числення використовуються для конвертації цифрової інформації в машинний код для подальшої обробки і видачі готових результатів, отриманих під час обчислювального процесу.